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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Sa 01.12.2007 | | Autor: | DarkRose |
| Aufgabe | Gegeben ist der Punkt P (4/-1/3) und die Ebene E: 3x1-2x2+x3=3
Gesucht ist das Spiegelbild P' des Puktes P bei Spiegelung an der Ebene E.
a) Bestimmen Sie eine Gleichung der zu E orthogonalen und durch P gehenden Geraden g.
b)Berechnen Sie den Schnittpunkt S der Geraden g mit der Ebene E.
c) Bestimmen Sie P' auf der Geraden g so, dass S der Mittelpunkt von PP' ist. |
Hallöchen :)
Ich sitze gerade an meinen Mathehausaufgaben und habe ein kleines Problem..
Hier erstmal meine Lösungsansätze:
a) für g als Stützvektor den Ortsvektor von P und als Richtungsvektor den Normalenvektor von E, den man ja ablesen kann.
b) g und E gleichsetzen: dafür erstmal E in Normalenform und dann in Parameterform umwandeln und dann gleichsetzen.
Gibt es noch schnellere Wege von der Koordinatenform zur Parameterform zu kommen oder nur über den "Umweg" der Normalenform?
Habe nun einen Schnittpunkt S (1/1/2) rausbekommen. Denke, ich habe das bis hierhin alles richtig gerechnet....?
c) Jaaa, hier liegt mein Problem. P' soll ja auf der Geraden g liegen... ist also auch ein möglicher Stützvektor von g, oder? Bringt mir diese Erkenntnis etwas?
S ist ja der Mittelpunkt der Strecke PP'. Bringt es mir etws, den Vektor PS zu berechnen? Kann ich mit dem irgendwas anfangen?
Ich bin echt etwas ratlos..... Hoffe, es kann mir jemand helfen oder mir Gedankenanstöße geben. Danke schon einmal im Voraus.
LG, DarkRose
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben ist der Punkt P (4/-1/3) und die Ebene E:
> 3x1-2x2+x3=3
> Gesucht ist das Spiegelbild P' des Puktes P bei Spiegelung
> an der Ebene E.
> a) Bestimmen Sie eine Gleichung der zu E orthogonalen und
> durch P gehenden Geraden g.
> b)Berechnen Sie den Schnittpunkt S der Geraden g mit der
> Ebene E.
> c) Bestimmen Sie P' auf der Geraden g so, dass S der
> Mittelpunkt von PP' ist.
> Hallöchen :)
>
> Ich sitze gerade an meinen Mathehausaufgaben und habe ein
> kleines Problem..
> Hier erstmal meine Lösungsansätze:
>
> a) für g als Stützvektor den Ortsvektor von P und als
> Richtungsvektor den Normalenvektor von E, den man ja
> ablesen kann.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Also hast Du in etwa folgende Geradengleichung
[mm]\pmat{x_1\\x_2\\x_3}=\pmat{4\\-1\\3}+t\pmat{3\\-2\\1},\quad t\in \IR[/mm]
> b) g und E gleichsetzen: dafür erstmal E in Normalenform
> und dann in Parameterform umwandeln und dann gleichsetzen.
Na, warum denn dies? - Die Koordinatenform (Normalenform) von $E$ ist gegeben und die Gerade $g [mm] \perp [/mm] E$ durch $P$ hast Du nach a) bereits hingeschrieben. Ist $t$ der Parameterwert des Schnittpunktes [mm] $S(x_1|x_2|x_3)$ [/mm] von $g$ und $E$, dann muss also folgendes Gleichungssystem gelten:
[mm]\begin{array}{cl|l}
\text{(1)} & 3x_1-2x_2+x_3 = 3 &\text{da $S\in E$}\\
\text{(2)} &\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-1\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix} &\text{da $S$ in $g$}\\\cline{2-3}
\end{array}[/mm]
Nun kannst Du einfach die [mm] $x_1,x_2,x_3$-Koordinaten [/mm] der Parameterform von $g$ in die gegebene Gleichung von $E$ einsetzen: ergibt folgende lineare Gleichung für den Parameterwert $t$
[mm]3(4+3t)-2(-1-2t)+(3+t)=3[/mm]
Hat man $t=-1$ daraus bestimmt, setzt man diesen Parameterwert in die Parameterform von $g$ ein und erhält den Ortsvektor / die Koordinaten von $S$.
> Gibt es noch schnellere Wege von der Koordinatenform zur
> Parameterform zu kommen oder nur über den "Umweg" der
> Normalenform?
>
> Habe nun einen Schnittpunkt S (1/1/2) rausbekommen.
> c) Jaaa, hier liegt mein Problem. P' soll ja auf der
> Geraden g liegen... ist also auch ein möglicher Stützvektor
> von g, oder? Bringt mir diese Erkenntnis etwas?
1. Weg (umständlich): $P$ ist der Punkt von $g$ zum Parameterwert $t=0$, $S$ ist der Mittelpunkt der Strecke $PP'$ und hat den Parameterwert $t=-1$, also hat $P'$ welchen Parameterwert $t$? Ist diese Frage beantwortet, kann man einfach diesen Parameterwert von $P'$ in die Gleichung von $g$ einsetzen und erhält den Ortsvektor/die Koordinaten von $P'$.
> S ist ja der Mittelpunkt der Strecke PP'.
> Bringt es mir
> etws, den Vektor PS zu berechnen? Kann ich mit dem
> irgendwas anfangen?
Aber ja doch, aber gewiss doch:
2. Weg: Es ist [mm] $\vec{PS}=\vec{SP'}$, [/mm] also ist [mm] $\vec{OP'}=\vec{OP}+\vec{PP'}=\vec{OP}+\vec{PS}+\vec{SP'}=\vec{OP}+2\vec{PS}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Sa 01.12.2007 | | Autor: | DarkRose |
Hi Somebody,
danke für die schnelle Anwort. :) Jetzt erscheint es mir auch alles logisch. Ich habe bei c einfach nur nicht weitergedacht und bei b einfach zu kompliziert.^^
Ich habe jetzt für P' einen Punkt raus. habe den zweiten Weg genommen.
Der Punkt P' ist bei mir (-2/3/-1). Wenn ich mich nicht verrechnet habe, müsste das richtig sein, oder?
LG
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> Hi Somebody,
>
> danke für die schnelle Anwort. :) Jetzt erscheint es mir
> auch alles logisch. Ich habe bei c einfach nur nicht
> weitergedacht und bei b einfach zu kompliziert.^^
>
> Ich habe jetzt für P' einen Punkt raus. habe den zweiten
> Weg genommen.
> Der Punkt P' ist bei mir (-2/3/-1). Wenn ich mich nicht
> verrechnet habe, müsste das richtig sein, oder?
Nein, dies kann nicht richtig sein. Ich glaube es ist [mm] $P'=(-2/3/\red{1})$: [/mm] denn $S(1/1/2)$ muss ja der Mittelpunkt der Strecke $PP'$ sein, d.h. die Koordinaten von $S$ müssen die Mittelwerte der entsprechenden Koordinaten der Endpunkte dieser Strecke sein. Wegen $P=(4/-1/3)$ wäre der Mittelwert der dritten Koordinaten von $P$ und $P'$ bei Deiner Lösung aber [mm] $\frac{3+(-1)}{2}=1$, [/mm] statt, richtiger, [mm] $\frac{3+\red{1}}{2}=2$ [/mm] (=dritte Koordinate von $S$).
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