Spiegelung an einer Ebene < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Sa 22.03.2008 | | Autor: | onetwo |
| Aufgabe | Ein Punkt P(x|y|z) werde an der Ebene E: [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1}* [/mm] 0X = 0 gespiegelt.
Gin die Koordinarten des Bildpunktes P' von P an.
Wie lautet die Abbildungsmatrix zur Spiegelung an E?
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Ich schreibe in 2 Wochen über dieses Thema eine Klausur. Leider habe ich davon nur wenig ahnung und die Lösung dieser Aufgabe würde mich ein wenig näher bringen.
Ich weiss nur, dass die Ebenengleichung in normalenform gegeben ist. Mein Lehrer meinte, dass man aus dieser erkennen kann, dass die Ebene, wenn amn sie richtig zeichnet, für mich wie eine Gerade aussieht. Somit wäre das einfach nur eine Spiegelung an einer Geraden also nur die Koordinarten vertauschen. (x1|x2|x3) -> (x3|x2|x1).
Aber wie ich von alleine in der Klausur auf diese Idee kommen soll weiss ich nicht.
Kann man überaupt einen Ebene nur aus der Normalenform zeichnen?
Ich bitte um Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo onetwo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ein Punkt P(x|y|z) werde an der Ebene E: [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1}*[/mm]
> 0X = 0 gespiegelt.
>
>
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> Gin die Koordinarten des Bildpunktes P' von P an.
> Wie lautet die Abbildungsmatrix zur Spiegelung an E?
>
> Ich schreibe in 2 Wochen über dieses Thema eine Klausur.
> Leider habe ich davon nur wenig ahnung und die Lösung
> dieser Aufgabe würde mich ein wenig näher bringen.
> Ich weiss nur, dass die Ebenengleichung in normalenform
> gegeben ist. Mein Lehrer meinte, dass man aus dieser
> erkennen kann, dass die Ebene, wenn amn sie richtig
> zeichnet, für mich wie eine Gerade aussieht. Somit wäre das
> einfach nur eine Spiegelung an einer Geraden also nur die
> Koordinarten vertauschen. (x1|x2|x3) -> (x3|x2|x1).
> Aber wie ich von alleine in der Klausur auf diese Idee
> kommen soll weiss ich nicht.
> Kann man überaupt einen Ebene nur aus der Normalenform
> zeichnen?
Sinnigerweise such man sich bestimmte Punkte der Ebene heraus, um sie zu zeichnen. Das sind die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Das ist dann das sogenannte ![[]](/images/popup.gif) Spurdreieck
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> Ich bitte um Hilfe!
Um den Spiegelpunkt P' zu berechnen, schneidest die Gerade [mm]g:\overrightarrow{x}=\pmat{x \\ y \\ z} + t* \pmat{1 \\ 0 \\ -1}[/mm] mit der gegebenen Ebene E, in dem Du die Gerade g in die Ebenengleichung einsetzt.
Daraus erhältst Du einen Wert für t. Da P' auf der anderen Seite der Ebene E liegt, gilt:
[mm]\pmat{ x' \\ y' \\ z'}=\pmat{ x \\ y \\ z}+2*t*\pmat{1 \\ 0 \\ -1}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Sa 22.03.2008 | | Autor: | onetwo |
und wie komme ich an die Abbildungsmatrix zur Spiegelung an E?
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Hallo onetwo,
> und wie komme ich an die Abbildungsmatrix zur Spiegelung an
> E?
Das t wird ja sicherlich von x, y, z abhängig sein.
Demnach hast Du
[mm]\pmat{x' \\ y' \\ z'}=\pmat{x \\ y \\ z}+ t\left(x, \ y, \ z\right)*\pmat{1 \\ 0 \\ -1}=\pmat{x + t\left(x, \ y, \ z \right) \\ y \\ z-t\left(x,\ y, \ z \right)}[/mm]
Daraus ergeben sich folgende Gleichungen:
[mm] x'=x+t\left(x, \ y, \ z \right)= a_{11}*x+a_{12}*y+a_{13}*z[/mm]
[mm] y' = y =a_{21}*x+a_{22}*y+a_{23}*z[/mm]
[mm] z'=z-t\left(x, \ y, \ z \right)= a_{31}*x+a_{32}*y+a_{33}*z[/mm]
[mm]\Rightarrow \pmat{x' \\ y' \\ z'}=\underbrace{\pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}}}_{Abbildungsmatrix} * \pmat{x \\ y \\ z}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:34 Sa 22.03.2008 | | Autor: | onetwo |
Vielen Dank für deine Antworten.
Du hast mir viel weitergeholfen!
Gruß
Onetwo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Sa 22.03.2008 | | Autor: | onetwo |
Ich hab noch eine Frage zu der Ebenengleichung
E: [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1}* [/mm] 0X=0
In deiner Lösung verwedest du den Vektor [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1}.
[/mm]
Was sagt dieser aus?
Ist das einfach nur der Richtungsvektor der Ebene, welcher auch später in der Geradengleichung verwedet wird?
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Hallo onetwo,
> Ich hab noch eine Frage zu der Ebenengleichung
> E: [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1}*[/mm] 0X=0
> In deiner Lösung verwedest du den Vektor [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1}.[/mm]
>
> Was sagt dieser aus?
> Ist das einfach nur der Richtungsvektor der Ebene, welcher
> auch später in der Geradengleichung verwedet wird?
>
Das ist der Normalenvektor der Ebene E.
Dieser steht senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren der Ebene E.
[mm]\pmat{1 \\ 0 \\ -1 } * \pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} \gdw x_{1}-x_{3}=0[/mm]
[mm]\Rightarrow x_{1}=x_{3}, \ x_{2}=v, \ x_{3}=u[/mm]
[mm] \Rightarrow \pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} = \pmat{0 \\ 0 \\ 0}+ u * \pmat{1 \\ 0 \\ 1} + v * \pmat{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
[mm]\pmat{1 \\ 0 \\ 1}[/mm] und [mm]\pmat{0 \\ 1 \\ 0}[/mm] sind dann die Richtungsvektoren der Ebene E.
Gruß
MathePower
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