Spiegelung an einer Ebene < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte P1= ( 1 / -1 / 2 ) P2= ( -1 / 3 / 4 ) P3= (1 /-2/4)
und S= (2 / -1 / 2 ) . Spiegeln Sie den Punkt S an der Ebene E , die durch die Punkte P1 P2 und P3 verläuft. |
So das ist die zweite Aufgabe der Hausaufgabe und ich komm dort garnicht weiter. Soll ich das rechnerisch oder zeichnerisch lösen? Hätte jemand ein Tipp wie ich dort weiter komme?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:18 Di 10.11.2009 | | Autor: | max3000 |
Hey.
Ob du das jetzt rechnerisch oder zeichnerisch lösen sollst kann ich dir nicht sagen :D.
Also ich geb dir mal nen kleinen Hinweis zur rechnerischen ermittlung.
Erstmal musst du eine Ebenengleichung aufstellen.
Das machst du am besten in der Koordinatendarstellung, also in der Form
ax+by+cz=d
Das hat man ja alles in der Schule schon gelernt, wie das geht. Also der Normalenvektor n ist zum Beispiel das Kreuzprodukt aus den beiden Richtungsvektoren der Ebene.
Die Koeffizenten a, b, c bilden den Normalenvektor der Ebene
[mm] \vec{n}=\vektor{a \\ b \\ c}
[/mm]
Jetzt würde ich eine Gerade mit Aufpunkt S und Richtungsvektor n aufstellen. Das ist eine Gerade, die senkrecht durch die Ebene verläuft.
Die Gerade hat die Form
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{s}+\lambda\vec{n}
[/mm]
Die Komponenten dieser gerade setzt du in deine Ebenendarstellung ein und kannst somit den Parameter [mm] \lambda [/mm] ermitteln. Das ist die "Schrittweite", so dass die Gerade die Ebene trifft. hast du diesen, setzt du in die Gerade die doppelte Schrittweite ein, also [mm] 2*\lambda.
[/mm]
Dadurch bekommst du den Spiegelpunkt.
Ich denke das kann man sich ganz gut vorstellen, weil wenn man 1 mal mit schritt [mm] \lambda [/mm] in Richtung Ebene geht, kommt man genau auf der Ebene raus. Geht man 2 mal mit Schrittweite [mm] \lambda [/mm] dort hin, gelangt man auf die andere Seite der Ebene, mit dem selben Abstand zur Ebene, wie der Punkt S.
Hoffe das war einigermaßen verständlich.
Schönen Gruß.
Max
P.S. Das ist keine Funktionalanalysis, weil du das ja in das Forum geschrieben hast. Das ist was ganz anderes. Was du meinst ist analytische Geometrie.
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Also ich versuche jetzt das mal nachzuvollziehen allerdings bin ich noch nicht sehr weit gekommen
Die Ebenengleichung ist ja dann ax + by + cz = d
nun kann ich doch einen der Punkte als Ortsvektor nehmen und die beiden anderen als Richtungsvektor oder?
Dann würde dort stehen:
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] x + [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] y + [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] = d
Oder ist das völlig falsch? Und was muss ich als d einsetzen???
Dann kann man ja den normalenvektor bestimmen indem ich das Kreuzprodukt bilde aus meinen beiden Richtungsvektoren:
N.Vektor = [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] X [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}
[/mm]
Das ergibt bei mir dann Normalenvektor: [mm] \begin{pmatrix} 20 \\ 8 \\ -1 \end{pmatrix}
[/mm]
Ist davon irgendwas richtig oder kompletter Unsinn?
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Hallo Gallum2009,
> Also ich versuche jetzt das mal nachzuvollziehen allerdings
> bin ich noch nicht sehr weit gekommen
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> Die Ebenengleichung ist ja dann ax + by + cz = d
>
> nun kann ich doch einen der Punkte als Ortsvektor nehmen
> und die beiden anderen als Richtungsvektor oder?
>
> Dann würde dort stehen:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] x +
> [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm] y +
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm] = d
>
> Oder ist das völlig falsch? Und was muss ich als d
> einsetzen???
>
> Dann kann man ja den normalenvektor bestimmen indem ich das
> Kreuzprodukt bilde aus meinen beiden Richtungsvektoren:
>
> N.Vektor = [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm] X
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Das ergibt bei mir dann Normalenvektor: [mm]\begin{pmatrix} 20 \\ 8 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Ist davon irgendwas richtig oder kompletter Unsinn?
Das ist kompletter Unsinn.
Durch die 3 Punkte [mm]P_{1}, \ P_{2}, \ P_{3}[/mm] ist eine Ebene gegeben,
sofern die 3 Punkte nicht auf einer Geraden liegen.
Dann lautet die Parameterform der Ebene z.B. so:
[mm]E:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OP_{1}}+s*\overrightarrow{P_{1}P_{2}}+t*\overrightarrow{P_{1}P_{3}}, \ s,t \in \IR[/mm]
bzw. die Koordinatenform
[mm]E:\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{OP_{1}}\right) \* \overrightarrow{n}=0[/mm]
mit [mm]\overrightarrow{n}=\overrightarrow{P_{1}P_{2}} \times \overrightarrow{P_{1}P_{3}}[/mm]
Gruss
MathePower
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