Spiegelung d. Punktes D an ABC < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Mo 25.09.2006 | | Autor: | Mabon |
| Aufgabe | Gegegeben sind die Punkte A (-2/1/1) B (4/3/2) C(1/1/1) und D (3/4/8)
Gesucht wird D' von ABC |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Mein Lösungsansatz
a) Normalvektor aus dem Kreuzprodukt von AB und AC
[mm] \vec{n} =\pmat{ 0 \\ 3 \\ -6 } [/mm]
b) nächster Schritt für mich die Ebene [mm] \varepsilon [/mm] berechnen
[mm] X*\vec{n}=A*\vec{n}
[/mm]
[mm] \pmat{ x \\ y \\ z }*\pmat{ 0 \\ 3 \\ -6 }=\pmat{ -2 \\ 1 \\ 1 }*\pmat{ 0 \\ 3 \\ -6 }
[/mm]
y-2z=-3
c) Gerade g: X= [mm] A+t*\overrightarrow{AB}
[/mm]
[mm] X=\pmat{ -2 \\ 1 \\ 1 }+t*\pmat{ 6 \\ 2 \\ 1 }
[/mm]
Der weitere Lösungsweg ist mir versperrt, da mir die Variable x in der Ebenengleichung wegfälllt. Habe ich in einen Rechen- oder Gedankenfehler?
Ich bitte um eure Hilfe
Danke im Voraus
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Hallo Mabon!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegegeben sind die Punkte A (-2/1/1) B (4/3/2) C(1/1/1) und
> D (3/4/8)
> Gesucht wird D' von ABC
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
> Mein Lösungsansatz
> a) Normalvektor aus dem Kreuzprodukt von AB und AC
>
>
> [mm]\vec{n} =\pmat{ 0 \\ 3 \\ -6 }[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b) nächster Schritt für mich die Ebene [mm]\varepsilon[/mm]
> berechnen
>
> [mm]X*\vec{n}=A*\vec{n}[/mm]
> [mm]\pmat{ x \\ y \\ z }*\pmat{ 0 \\ 3 \\ -6 }=\pmat{ -2 \\ 1 \\ 1 }*\pmat{ 0 \\ 3 \\ -6 }[/mm]
>
>
> y-2z=-3
Das kann nicht stimmen. Alle Punkte der Ebene müssten die Ebenengleichung mit wahrer Aussage erfüllen, damit dies wirklich die Ebene von A, B und C. Mach' mal die Probe und du wirst sehen, daß die von dir genannte Ebene nicht stimmen kann.
>
> c) Gerade g: X= [mm]A+t*\overrightarrow{AB}[/mm]
>
> [mm]X=\pmat{ -2 \\ 1 \\ 1 }+t*\pmat{ 6 \\ 2 \\ 1 }[/mm]
Dies ist eine Gerade, welche in der Ebene liegt. Die bringt dich an dieser Stelle nicht weiter.
Dir stehen jetzt spontan 2 Möglichkeiten zur Verfügung:
1. (wenn dir die Hess'sche Normalform der Ebene noch nicht erklärt wurde)
Du bräuchtest eine Gerade, welche senkrecht (also mathematisch 'normal') auf der Ebene steht und durch den Punkt D geht. Von dieser Gerade ermittelst du den Durchstoßpunkt F (wie Fußpunkt) mit der Ebene E. Dann kannst du den Vektor [mm] \overrightarrow{DF} [/mm] um den Abstand von D zur Ebene zu ermitteln. Der restliche Weg sollte dann klar sein.
2. (sofern du schon die Hess'sche Normalform kennst)
Du verwendest die Hess'sche Normalenform der Ebene um den Punktabstand von D (und folglich auch für D') zu ermitteln. Diesen setzt du dann wiederum in die Hess'sche Normalform ein und ermittelst die Koordinaten für D'.
>
> Der weitere Lösungsweg ist mir versperrt, da mir die
> Variable x in der Ebenengleichung wegfälllt. Habe ich in
> einen Rechen- oder Gedankenfehler?
> Ich bitte um eure Hilfe
> Danke im Voraus
Kommst du damit jetzt weiter?
Gruß,
Tommy
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Di 26.09.2006 | | Autor: | Mabon |
| Aufgabe | Gegegeben sind die Punkte A (-2/1/1) B (4/3/2) C(1/1/1) und
> D (3/4/8)
> Gesucht wird D' von ABC
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Erst mal danke für die promte Antwort!
Ich blicke bei der Ebenengleichung nicht ganz durch...
Mein neuer Lösungsansatz wäre:
[mm] X=A+t.\overrightarrow{AB}+r\overrightarrow{AC}
[/mm]
in weiterer Folge habe ich diese Gleichung (wie der Prof.) mit dem [mm] \vec{n}
[/mm]
multipliziert und komme auf das gleiche Ergebnis, wie vorher
y+2z=-3
Wo liegt mein Fehler? Kann mir das jemand erläutern?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Di 26.09.2006 | | Autor: | riwe |
versuche es mal mit y - 2z = -1
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