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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 Do 17.02.2011 | | Autor: | sardelka |
| Aufgabe | Es sei G [mm] \in \IR^{3x3} [/mm] eine orthogonale Matrix.
(Zur Info: G [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] (1,1,1)^{T} [/mm] und G [mm] \vec{y} [/mm] = [mm] (1,-1,0)^{T}, [/mm] nicht sicher, ob es gebraucht wird)
Nun beschreibe G eine Spiegelung an der Ebene E durch 0 mit dem Normalenvektor [mm] \vec{u} [/mm] = [mm] (1,0,0)^{T}. [/mm] Bestimmen Sie eine Basis des [mm] \IR^{3x3}, [/mm] die aus Eigenvektoren von G besteht. |
Hi!
Also für den ersten Teil, also der Spiegelung setze ich da S = I - [mm] \vec{u} [/mm] * [mm] \vec{u} [/mm] ^{T} ein und dan ist dann die G Matrix, die gesucht wird?
Und beim zweiten Teil mit den Basen, sind es doch die Vektoren x und y, oder nicht? Denn sie stehen senkrecht aufeinander, bilden also Orthogonalbasis und gleichzeitig Basis von G, oder nicht?
Vielen Dank!
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:28 Fr 18.02.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo, die von dir gepostete Aufgabenstellung macht so keinen Sinn.
> Es sei G [mm]\in \IR^{3x3}[/mm] eine orthogonale Matrix.
>
> (Zur Info: G [mm]\vec{x}[/mm] = [mm](1,1,1)^{T}[/mm] und G [mm]\vec{y}[/mm] =
> [mm](1,-1,0)^{T},[/mm] nicht sicher, ob es gebraucht wird)
Was waren x und y, bevor sie mit G multipliziert wurden? So bringt die Angabe nichts.
>
> Nun beschreibe G eine Spiegelung an der Ebene E durch 0 mit
> dem Normalenvektor [mm]\vec{u}[/mm] = [mm](1,0,0)^{T}.[/mm] Bestimmen Sie
> eine Basis des [mm]\IR^{3x3},[/mm] die aus Eigenvektoren von G
> besteht.
Eigenvektoren von [mm] $G\:$ [/mm] sind aus [mm] $\IR^3$, [/mm] nicht [mm] $\IR^{3\times{3}}, [/mm] sie können also keine Basis des [mm] $\IR^{3\times{3}}$ [/mm] bilden.
> Hi!
>
> Also für den ersten Teil, also der Spiegelung setze ich da
> S = I - [mm]\vec{u}[/mm] * [mm]\vec{u}[/mm] ^{T} ein und dan ist dann die G
> Matrix, die gesucht wird?
Was meinst du mit u?
>
> Und beim zweiten Teil mit den Basen, sind es doch die
> Vektoren x und y, oder nicht? Denn sie stehen senkrecht
> aufeinander, bilden also Orthogonalbasis und gleichzeitig
> Basis von G, oder nicht?
Du hast gar nicht geschrieben, was x und y überhaupt sind. G ist eine Matrix, hat also keine Basis. Basen haben Vektorräume. Um eine Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] zu bestimmen brauchst du darüber hinaus drei Basisvektoren, da der Vektorraum ja die Dimension 3 hat.
G spiegelt doch an der [mm] $x_2-x_3$-Ebene. [/mm] Also bleiben alle Vektoren in dieser Ebene unter der durch G vermittelten Abbildung invariant, sind also Eigenvektoren von G zum Eigenwert 1. Die [mm] $x_2-x_3$-Ebene [/mm] ist ein zweidimesionaler Unterraum, daher bekommst du, wenn du eine Basis zu diesem Unterraum bestimmst, schon einmal zwei der gesuchten Eigenvektoren. Was ist eine Basis dieses Unterraums?
Bei der Spiegelung wird außerdem [mm] $e_1:=\pmat{1 \\ 0 \\ 0}$ [/mm] auf [mm] $-e_1$ [/mm] abgebildet. Das heißt [mm] $e_1$ [/mm] ist ein Eigenvektor von G zum Eigenwert -1. Er liegt nicht in der [mm] $x_2-x_3$-Ebene. [/mm] Damit ist er der dritte noch fehlende Basisvektor.
LG Lippel
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