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Hallo, wir hatten in unserer Klausur eine knifflige Frage, bei der viele mit der Antwort nicht so einverstanden sind. Deswegen will ich mal fragen, was ihr davon haltet:
Sei V ein endl. dim. euklid. VR mit Skalarprodukt <.,.>: Ist dann wahr oder falsch:
f: [mm] \IR^2\to \IR^2 [/mm] Spiegelung [mm] \Rightarrow [/mm] f Isometrie.
In der Musterlösung lautet die Antwort wahr.
Jetzt ist die Sache, so richtig haben wir eine Spiegelung nie definiert. Wir haben nur Isometrien wie folgt definiert: Ein Endomorphismus $ [mm] f:V\to [/mm] $ V zwischen euklidischen und unitären VR'en heißt Isometrie, wenn <v,w>=<f(v),f(w)> für alle $ [mm] v,w\in [/mm] $ V gilt. Solche Abbildungen erhalten Abstände und Winkel zwischen zwei Vektoren.
Es hat dann einer folgendes Gegenbeispiel gebracht:
"Ich weise darauf hin, dass da NICHT steht, dass f ein Endomorphismus ist, also muss f insbesondere nicht linear sein. Dann gibt es folgendes Gegenbeispiel:
Spiegelung an der Geraden x=1. Dann wird P(2,0) auf P'(0,0) abgebildet. Das ist eine Spiegelung (ich kann mich nicht an eine exakte Definition von "Spiegelung" aus der Vorlesung erinnern, also spiegele ich halt an irgendeiner Geraden), aber sicher keine Isometrie, da im obigen Beispiel ein Punkt mit (euklidischer) Norm 2 auf einen Punkt mit Norm 0 abgebildet wird."
Was meint ihr denn jetzt, ist die Aussage wahr oder falsch??
Gruß
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> Hallo, wir hatten in unserer Klausur eine knifflige Frage,
> bei der viele mit der Antwort nicht so einverstanden sind.
> Deswegen will ich mal fragen, was ihr davon haltet:
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> Sei V ein endl. dim. euklid. VR mit Skalarprodukt <.,.>:
> Ist dann wahr oder falsch:
>
> f: [mm]\IR^2\to \IR^2[/mm] Spiegelung [mm]\Rightarrow[/mm] f Isometrie.
>
> In der Musterlösung lautet die Antwort wahr.
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> Jetzt ist die Sache, so richtig haben wir eine Spiegelung
> nie definiert. Wir haben nur Isometrien wie folgt
> definiert: Ein Endomorphismus [mm]f:V\to[/mm] V zwischen
> euklidischen und unitären VR'en heißt Isometrie, wenn
> <v,w>=<f(v),f(w)> für alle [mm]v,w\in[/mm] V gilt. Solche
> Abbildungen erhalten Abstände und Winkel zwischen zwei
> Vektoren.
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> Es hat dann einer folgendes Gegenbeispiel gebracht:
>
> "Ich weise darauf hin, dass da NICHT steht, dass f ein
> Endomorphismus ist, also muss f insbesondere nicht linear
> sein. Dann gibt es folgendes Gegenbeispiel:
> Spiegelung an der Geraden x=1. Dann wird P(2,0) auf
> P'(0,0) abgebildet. Das ist eine Spiegelung (ich kann mich
> nicht an eine exakte Definition von "Spiegelung" aus der
> Vorlesung erinnern, also spiegele ich halt an irgendeiner
> Geraden), aber sicher keine Isometrie, da im obigen
> Beispiel ein Punkt mit (euklidischer) Norm 2 auf einen
> Punkt mit Norm 0 abgebildet wird."
Er betrachtet hier eine nicht-lineare, affine Abbildung: d.h. er beschränkt Spiegelungen nicht auf Spiegelungen an Unterräumen eines Vektorraums.
> Was meint ihr denn jetzt, ist die Aussage wahr oder
> falsch??
In einem Kontext, in dem der Begriff "Spiegelung" nicht genügend klar definiert wurde (z.B. so, dass im Kontext von Vektorräumen Linearität per Definition dazugehört) ist die Aussage meiner Meinung nach weder wahr noch falsch sondern nicht genügend klar formuliert. Dem Nörgler kommt das Verdienst zu, den Aufgabensteller auf ungenügende Klarheit des Aufgabentextes aufmerksam gemacht zu haben. Wenn ich so was in einer Klausur beantworten müsste, würde ich aber nicht bloss eine solchermassen negative Haltung gegenüber dem Aufgabentext zum besten geben wollen. Statt dessen kann man auf dieses Problem aufmerksam machen und dann den Aufgabentext "wohlwollend" so interpretieren, dass die Aussage in der Tat wahr ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 So 03.08.2008 | | Autor: | jaruleking |
Hi, danke erstmal.
Ja, es hat uns nur verwundert, da wir nie eine Spiegelung definiert haben und nur aus der def. der Isometrie kann man diese Aussage nicht schlussfolgern. Das ist ja wohl fakt. Und deswegen schon bisschen komisch.
trotzdem danke.
gruß
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