www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Lineare Algebra" - Spiegelungen
Spiegelungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Spiegelungen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:21 Mo 11.07.2005
Autor: Fuchs

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo!
Ich hoffe es kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen, weil ich hab keine Ahnung, was ich hier überhaupt beweisen soll:

Sei K ein körper der Charakteristik ungleich 2, sei V ein endlichdimensionaler VR über K und sei q eine nichtausgeartete quadratische Form. Sei [mm] \eta [/mm] eine orthogonale Transformation von V mit
dim [mm] \{x \in V|\eta (x)=x\}\ge [/mm] dimV-1

Zu zeigen ist, dass [mm] \eta [/mm] eine Spiegelung oder gleich der Identischen Abbildung ist.

Spiegelung haben wir definiert als [mm] S_{u} [/mm] : x [mm] \mapsto x-\bruch{b(x,u)}{q(x,u)}*u [/mm]
wobei b(x,u) die zugehörige Bilinearform ist.

Wie gehe ich denn da ran? Hat jemand eine Idee?

Vielen Dank im Voraus.




        
Bezug
Spiegelungen: Lösungsidee
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:56 Mo 11.07.2005
Autor: Toellner

Hallo,

ich kann zwar beweisen, dass  [mm] \eta [/mm] eine Spiegelung ist, aber nicht mit eurer Definition. Dazu ist unklar, wie der Zusammenhang der Bilinearform und der Quadratischen Form ist. Vielleicht hilfts Dir aber trozdem weiter:
Laut Voraussetzung gibt es einen Unterraum H der Dimensinon dimV-1 (Hyperebene), auf der [mm] \eta [/mm] die Identität ist:
[mm] \eta [/mm] (x) = x   für alle  x  [mm] \in [/mm] H.
Ich nehme an, b(x,y) ist die positiv definite, symmetrische Bilinearform, bezüglich der [mm] \eta [/mm]  orthogonal ist, also "das" Skalarprodukt.
Dann gibt es zu H genau einen Vektor u (bzw. skalare Vielfache davon), der "senkrecht" auf H steht:
d(h,u) = 0    für alle  h  [mm] \in [/mm] H.
Damit lassen sich alle  x  [mm] \in [/mm] V darstellen durch
x = h + tu, mit h  [mm] \in [/mm] H und t [mm] \in [/mm] K.
Weiter gilt:
0 = b(h,u) = [mm] b(\eta(h),\eta(u)) [/mm] = [mm] b(h,\eta(u)) [/mm]  für alle h [mm] \in [/mm] H.
d.h:  [mm] \eta [/mm] (u) steht senkrecht auf H ist also ein K-Vielfaches von u, also ein Eigenvektor, und da  [mm] \eta [/mm]  orthogonal ist, zum Eigenwert +1 oder -1.
(Außerdem wird die Orthogonalität von [mm] \eta [/mm] in Form der Gleichung
b(x,y) = b( [mm] \eta [/mm] (x), [mm] \eta [/mm] (y)) vorausgesetzt.)
Damit gilt für alle  x = h + tu  aus V:
[mm] \eta [/mm] (h + tu ) = h + tu        (Identität)
oder
[mm] \eta [/mm] (h + tu ) = h - tu        (Spiegelung an der Hypereben H).
Wenn Du das Ganze auf Hauptachsen bringst, hast Du eine dimV x dimV -Matrix in Diagonalform mit lauter 1er und ggf. genau einer -1 (Spiegelung).
Eurer Definition am ähnlichsten wäre dann die Darstellung:
Su :  (h + tu) -> (h + tu) - 2 d(h+tu,u)/|u|² * u
Wenn Du das auflöst mit d(h+tu,u) = td(u,u) = t|u|² , bekommst Du wieder
Su :  (h + tu) -> (h - tu)

Ich hoffe, es bringt was! Grüße, R.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de