Spiel 77... < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Folgende Aufgabe:
Beim Spiel 77 wird eine 7-stellige Gewinnzahl gezogen.
a) Wie groß ist die W., dass alle Ziffern verschieden sind?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit., dass mind. drei gleiche Ziffern auftauchen?
Es gibt [mm] 10^7 [/mm] Ziehungsmöglichkeiten (Reihenfolge wird beachtet, Wiederholung möglich)
zu a)
Hier habe ich folgenden Ansatz: Die erste gezogene Zahl ist völlig egal, die Wahrscheinlichkeit ist also 1, diese geht nun bei jeder Ziehung um [mm] \bruch{1}{10} [/mm] runter, da danach alle Zahlen außer die gezogenen auftreten können. Also ist die Wahrscheinlichkeit für 7 unterschiedliche [mm] \bruch{10*9*8*7*6*5*4}{10^7}= \bruch{189}{3125} [/mm] = 6,048%
zu b)
Hier würde ich jetzt folgenden Ansatz wählen: Um die Wahrscheinlichkeit für mind. 3 gleiche zu errechnen ist doch notwendig, die Wahrschienlichkeit für 3,4,5,6 und 7 gleiche zu errechnen und diese dann miteinander zu addieren oder?
Die Wahrscheinlichkeit für genau 3 gleiche ist doch: [mm] \bruch{10*1*1*9*8*7*6}{10^7}. [/mm] Dies ist jedoch nur die Wahrscheinlichkeit, dass 3 gleiche unter den ersten drei Ziehungen vorkommen oder? Da aber die Reihenfolge in diesem Fall egal ist und außer den drei gleichen auch keine doppelten vorkommen, muss ich den Zähler doch noch mit dem Binomialkoeffizienten [mm] \vektor{7\\ 3}
[/mm]
mutliplizieren oder?
Ich habe als Lösung: [mm] \bruch{\vektor{7 \\ 3}*10*1*1*9*8*7*6}{10^7} [/mm] = 10,584 %.
Oder muss ich statt des Binomialkoeffizienten [mm] \vektor{7 \\ 3} [/mm] doch etwa [mm] \vektor{7+3-1 \\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{9 \\ 3} [/mm] nehmen? (Ohne Beachtung der Reihenfolge, aber mit Wiederholung also Kombination Biniomialverteilt ) Da bin ich mir nicht ganz sicher.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 Di 04.08.2009 | | Autor: | wauwau |
also mind 3 gleiche heißt
nicht lauter verschiedene und nicht maximal zwei gleiche
also
1 - p(lauter verschiedene) - p(genau zwei gleiche) - p(zwei mal zwei gleiche aber doch verschieden) - p(drei mal zwei gleiche aber doch verschieden)
P(genau zwei gleiche) = [mm] \vektor{7\\ 2}*10*\bruch{9.8.7.6.5}{10^7}
[/mm]
P(zwei mal zwei gleiche aber doch verschieden) = [mm] \vektor{7\\ 2}*10*\vektor{5\\ 2}*9*\bruch{8.7.6}{10^7}
[/mm]
P(mal zwei gleiche aber doch verschieden) = [mm] \vektor{7\\ 2}*10*\vektor{5\\ 2}*9*\vektor{3\\ 2}*8*\bruch{7}{10^7}
[/mm]
|
|
|
| |
|
> also mind 3 gleiche heißt
> nicht lauter verschiedene und nicht maximal zwei gleiche
> also
> 1 - p(lauter verschiedene) - p(genau zwei gleiche) - p(zwei
> mal zwei gleiche aber doch verschieden) - p(drei mal zwei
> gleiche aber doch verschieden)
>
> P(genau zwei gleiche) = [mm]\vektor{7\\ 2}*10*\bruch{9.8.7.6.5}{10^7}[/mm]
>
> P(zwei mal zwei gleiche aber doch verschieden) =
> [mm]\vektor{7\\ 2}*10*\vektor{5\\ 2}*9*\bruch{8.7.6}{10^7}[/mm]
>
> P(mal zwei gleiche aber doch verschieden) = [mm]\vektor{7\\ 2}*10*\vektor{5\\ 2}*9*\vektor{3\\ 2}*8*\bruch{7}{10^7}[/mm]
>
>
Wie? Verstehe ich nicht. Mindestens drei gleiche heißt doch 3 gleiche, 4 gleiche, 5 gleiche, 6 gleiche oder 7 gleiche. Deswegen muss ich doch für jedes Ereignis die Wahrscheinlichkeit ausrechnen und diese addieren?
|
|
|
| |
|
Der Hintergrund von wauwaus Betrachtung ist der Folgende.
Geben wir den Dingen erst einmal einen Namen. Zu berechnen ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
[mm]A =[/mm] "mindestens 3 gleiche Ziffern"
Jetzt geht man zum Gegenereignis über:
[mm]\overline{A} =[/mm] "keine 3 gleichen Ziffern"
[mm]\overline{A}[/mm] zerfällt in 4 Ereignisse: [mm]\overline{A} = B_0 \cup B_1 \cup B_2 \cup B_3[/mm]
wobei
[mm]B_k =[/mm] "genau k verschiedene Paare gleicher Ziffern und 7-2k einzelne Ziffern"
bedeute. Zur Erläuterung jeweils ein Beispiel:
Zu [mm]B_0[/mm] gehört 7301954.
Zu [mm]B_1[/mm] gehört 6840547.
Zu [mm]B_2[/mm] gehört 4143632.
Zu [mm]B_3[/mm] gehört 5838522.
Als Beispiel bestimmen wir die Mächtigkeit von [mm]B_3[/mm]. Die Elemente von [mm]B_3[/mm] sind vom Typ RRSSTTU. Wir setzen dabei [mm]R
Vom Typ RRSSTTU gibt es nun genau [mm]\frac{7!}{2!2!2!}[/mm] Realisierungen ("Wörter"). Für die Belegung der "Buchstaben" [mm]R
[mm]\left| B_3 \right| = \frac{7!}{2!2!2!} \cdot {{10} \choose 3} \cdot {7 \choose 1}[/mm]
Die Festlegung [mm]R
|
|
|
| |
|
Meines Erachtens sind die Werte noch durch 1! bzw. 2! bzw. 3! zu dividieren.
|
|
|
|
