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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Do 30.07.2009 | | Autor: | pittster |
Ich hoffe, dass es mir hier niemand übel nimmt, wenn ich einfach mehrere kleinerer Themen in einem Thread zusamenfasse.
Meine Aufgabe ist, einige eher unspektakuläre Dinge aus den Körper-Axiomen zu beweisen.
K ist jedesmal ein Körper und $a [mm] \in [/mm] K$
Beweis für $-(-a)=a$ und [mm] $(a^{-1})^{-1} [/mm] = a$ falls $a [mm] \neq [/mm] 0$
Irre ich mich, wenn ich behaupte, dass das direkt aus dem Kommutativgesetz folgt? (Weil wegen [mm] $a^a^{-1} [/mm] = 1 = [mm] a^{-1}a$ [/mm] erfüllt a gegenüber [mm] $a^{-1}$ [/mm] die Gleiche vom Inversen Element geforderte Bedingung.)
Gibt es einen nennenswerten Unterschied zwischen dem Beweis für das inverse Element der Addition und dem inversen Element der Multiplikation? (Von der Argumentation unterscheiden diese sich ja nur durch die Forderung, dass bei [mm] $(a^{-1})^{-1}$ $a\neq [/mm] 0$ gefordert wird.
Den Beweis für diese folgenden Eigenschaften kann ich mir auch nach sorgfältigem Überlegen leider nicht zusammenreimen:
1: $ab = ac [mm] \Rightarrow [/mm] b=c$
2: für ax=b gibt es genau eine Lösung: $x := [mm] \frac{b}{a}$
[/mm]
Kann mir da vllt jemand einen kleinen Tipp geben?
lg, Dennis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Do 30.07.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Dennis
> Ich hoffe, dass es mir hier niemand übel nimmt, wenn ich
> einfach mehrere kleinerer Themen in einem Thread
> zusamenfasse.
Nein, das passt ja alles zusammen.
>
> Meine Aufgabe ist, einige eher unspektakuläre Dinge aus
> den Körper-Axiomen zu beweisen.
>
> K ist jedesmal ein Körper und [mm]a \in K[/mm]
>
> Beweis für [mm]-(-a)=a[/mm] und [mm](a^{-1})^{-1} = a[/mm] falls [mm]a \neq 0[/mm]
>
> Irre ich mich, wenn ich behaupte, dass das direkt aus dem
> Kommutativgesetz folgt? (Weil wegen [mm]a^a^{-1} = 1 = a^{-1}a[/mm]
> erfüllt a gegenüber [mm]a^{-1}[/mm] die Gleiche vom Inversen
> Element geforderte Bedingung.)
Beachte die Klammern, das Potenzieren ist nicht kommutativ.
Der Beweis ist alles andere als trivial, wie ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesbar ist.
>
> Gibt es einen nennenswerten Unterschied zwischen dem Beweis
> für das inverse Element der Addition und dem inversen
> Element der Multiplikation? (Von der Argumentation
> unterscheiden diese sich ja nur durch die Forderung, dass
> bei [mm](a^{-1})^{-1}[/mm] [mm]a\neq 0[/mm] gefordert wird.
Im Prinzip nicht, beachte aber, dass [mm] 1_{K}\ne0_{K} [/mm] gefordert ist.
>
> Den Beweis für diese folgenden Eigenschaften kann ich mir
> auch nach sorgfältigem Überlegen leider nicht
> zusammenreimen:
>
> 1: [mm]ab = ac \Rightarrow b=c[/mm]
ab = ac
\ gdw [mm] a*b*a^{-1}=a*c*a^{-1}
[/mm]
Jetzt passend kommutieren, und die eigenschaften von [mm] a^{-1}*a [/mm] anwenden.
>
> 2: für ax=b gibt es genau eine Lösung: [mm]x := \frac{b}{a}[/mm]
ax=b
[mm] \gdw ax+a^{-1}=b*a^{-1}
[/mm]
>
> Kann mir da vllt jemand einen kleinen Tipp geben?
>
>
> lg, Dennis
>
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:33 Fr 31.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> > Meine Aufgabe ist, einige eher unspektakuläre Dinge aus
> > den Körper-Axiomen zu beweisen.
> >
> > K ist jedesmal ein Körper und [mm]a \in K[/mm]
> >
> > Beweis für [mm]-(-a)=a[/mm] und [mm](a^{-1})^{-1} = a[/mm] falls [mm]a \neq 0[/mm]
>
> >
> > Irre ich mich, wenn ich behaupte, dass das direkt aus dem
> > Kommutativgesetz folgt? (Weil wegen [mm]a^a^{-1} = 1 = a^{-1}a[/mm]
Das soll wohl $a [mm] a^{-1} [/mm] = 1 = [mm] a^{-1} [/mm] a$ heissen.
> > erfüllt a gegenüber [mm]a^{-1}[/mm] die Gleiche vom Inversen
> > Element geforderte Bedingung.)
Dazu braucht man nichtmals das Kommutativgesetz, das steht einfach so sofort da. (Falls ihr gesagt habt: das Inverse [mm] $a^{-1}$ [/mm] von $a$ ist ein Element mit [mm] $a^{-1} [/mm] a = 1 = a [mm] a^{-1}$; [/mm] falls nur eine der beiden Gleichheiten gilt, braucht man das Kommutativgesetz schon.)
> Der Beweis ist alles andere als trivial, wie
> hier
> nachlesbar ist.
Doch, er ist ziemlich trivial, er steht sofort da. Was etwas weniger trivial ist ist die Eindeutigkeit des Inversen (was dort mehr oder minder mitgezeigt wird). Aber das soll ja hier nicht gezeigt werden.
> > Gibt es einen nennenswerten Unterschied zwischen dem Beweis
> > für das inverse Element der Addition und dem inversen
> > Element der Multiplikation?
Nein. Das sind ganz allgemein Aussagen fuer Gruppen (falls du das schonmal gehoert hast): bei $(K, +)$ und $(K [mm] \setminus \{ 0 \}, \cdot)$ [/mm] handelt es sich um solche.
> > (Von der Argumentation
> > unterscheiden diese sich ja nur durch die Forderung, dass
> > bei [mm](a^{-1})^{-1}[/mm] [mm]a\neq 0[/mm] gefordert wird.
Ja, da 0 kein Inverses besitzt :)
> > Den Beweis für diese folgenden Eigenschaften kann ich mir
> > auch nach sorgfältigem Überlegen leider nicht
> > zusammenreimen:
> >
> > 1: [mm]ab = ac \Rightarrow b=c[/mm]
>
> ab = ac
> \ gdw [mm]a*b*a^{-1}=a*c*a^{-1}[/mm]
Naja, dass dies ein genau-dann-wenn ist folgt gerade aus dem, was gezeigt werden soll. Erstmal gilt da nur ein Folgepfeil, also $a b = ac [mm] \Rightarrow a^{-1} [/mm] (a b) = [mm] a^{-1} [/mm] (a c)$ (hab's mal gleich von der anderen Seite multipliziert). Jetzt muss man die Assoziativitaet fuer die Multiplikation und noch ein paar Sachen verwenden und schon hat man $b = c$ dort stehen.
> > 2: für ax=b gibt es genau eine Lösung: [mm]x := \frac{b}{a}[/mm]
>
> ax=b
> [mm]\gdw ax+a^{-1}=b*a^{-1}[/mm]
Das $+$ soll ein [mm] $\cdot$ [/mm] sein, oder?
Man kann das zwar so umformen (unter Benutzung von dem, was man gerade gezeigt hat, andernfalls ist es erstmal nur eine Implikation). Alternativ kann man es auch in zwei Schritte unterteilen:
1) durch Einsetzen von [mm] $\frac{b}{a} [/mm] = b [mm] a^{-1}$ [/mm] zeigen, dass dies eine Loesung ist;
2) durch Multiplikation von $a x = b$ mit [mm] $a^{-1}$ [/mm] zeigen, dass jede Loesung von der Form [mm] $\frac{b}{a}$ [/mm] sein muss.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:46 Fr 31.07.2009 | | Autor: | pittster |
Also reicht $ab=ac [mm] \Rightarrow [/mm] b = [mm] a^{-1}ab [/mm] = [mm] a^{-1}ac [/mm] = [mm] aca^{-1} [/mm] = [mm] aba^{-1} [/mm] = c$ wegen der Eigenschaft [mm] $a^{-1}a=1$?
[/mm]
Und zu $ax=b$ muss ich mich dann auch der Eigenschaft [mm] $a^{-1}a=1$ [/mm] bedienen, oder?
also genau so: ax=b und [mm] $aa^{-1}x=a^{-1}b=1\cdot [/mm] x = x$ ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:57 Fr 31.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Also reicht [mm]ab=ac \Rightarrow b = a^{-1}ab = a^{-1}ac = aca^{-1} = aba^{-1} = c[/mm]
> wegen der Eigenschaft [mm]a^{-1}a=1[/mm]?
$ab=ac [mm] \Rightarrow [/mm] b = [mm] (a^{-1}a)b =a^{-1}(ab)= a^{-1}(ac)=(a^{-1}a)c [/mm] = c$
>
> Und zu [mm]ax=b[/mm] muss ich mich dann auch der Eigenschaft
> [mm]a^{-1}a=1[/mm] bedienen, oder?
>
> also genau so: ax=b und [mm]aa^{-1}x=bx=1\cdot x = x[/mm] ??
????
$ax=b [mm] \Rightarrow [/mm] x = [mm] (a^{-1}a)x [/mm] = [mm] a^{-1}(ax)= a^{-1}b$
[/mm]
FRED
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