Spielwürfel < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:40 Do 25.08.2011 | | Autor: | folken |
| Aufgabe | Wie oft muss man mit einem gewöhnlichen, fairen Spielwürfel mindestens würfeln, damit
mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% mindestens eine Sechs fällt? |
Hallo,
ich weiss grade nicht weiter. Bisher habe ich mir folgendes Gedacht:
P(X<x)= 0,95
=> in der Tabelle nachschauen => x = 1,65
Durch den zentralen Grenzwertsatz wüsste man ja noch folgendes:
1,65= x = [mm] \bruch{X-\mu}{\sigma}, [/mm] dadurch dass das geometrisch verteilt ist, könnte man für [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma [/mm] was einsetzen, aber keine genauen Werte. Naja und weiter weiss ich halt nicht.
|
|
| |
|
> Wie oft muss man mit einem gewöhnlichen, fairen
> Spielwürfel mindestens würfeln, damit
> mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% mindestens eine Sechs
> fällt?
> Hallo,
> ich weiss grade nicht weiter. Bisher habe ich mir
> folgendes Gedacht:
>
> P(X<x)= 0,95 ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> => in der Tabelle nachschauen => x = 1,65
>
> Durch den zentralen Grenzwertsatz wüsste man ja noch
> folgendes:
>
> 1,65= x = [mm]\bruch{X-\mu}{\sigma},[/mm] dadurch dass das
> geometrisch verteilt ist, könnte man für [mm]\mu[/mm] und [mm]\sigma[/mm]
> was einsetzen, aber keine genauen Werte. Naja und weiter
> weiss ich halt nicht.
Hallo folken,
für diese Aufgabe brauchst du keine Tabelle! Am besten
löst du sie via Gegenwahrscheinlichkeit:
P(gar keine Sechs in n Würfen) [mm] \le [/mm] 0.05
Diese Wahrscheinlichkeit kann man sehr einfach durch n
ausdrücken.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:51 Do 25.08.2011 | | Autor: | folken |
Danke für deine Antwort.
Ist also die Lösung die Folgende Gleichung nach n aufzulösen:
[mm] (1-\bruch{5}{6})^{n-1}*\bruch{5}{6} [/mm] = 0,05
Man muss doch die geometrische Verteilung benutzen oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:56 Do 25.08.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Nicht ganz.
Die Wahrscheinlichkeit, KEINE 6 zu werfen ist [mm] \frac{5}{6}
[/mm]
Also ist die Wahrscheinlichkeit, in n Würfen keine 6 zu bekommen:
[mm] P=\left(\frac{5}{6}\right)^{n}
[/mm]
Somit suchst du das kleinste [mm] n\in\IN, [/mm] für das gilt:
[mm] \left(\frac{5}{6}\right)^{n}<0,05
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:12 Do 25.08.2011 | | Autor: | folken |
Danke für deine Antwort.
Lässt sich den [mm] (\bruch{5}{6})^n [/mm] durch die geometrische Verteilung erklären?
Oder kann man diese hier nicht verwenden?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:18 Do 25.08.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo nochmal.
Das ist eigentlich die Binomialverteilung.
Sein [mm] \mathcal{X} [/mm] die Anzahl der gewürfelten 6er
Dann gilt:
[mm] P(\mathcal{X}=0)=\underbrace{\vektor{n\\
0}}_{=1}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{n}\cdot\underbrace{\left(1-\frac{1}{6}\right)^{0}}_{=1} [/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
> Danke für deine Antwort.
>
> Lässt sich den [mm](\bruch{5}{6})^n[/mm] durch die geometrische
> Verteilung erklären?
> Oder kann man diese hier nicht verwenden?
Wenn du unbedingt erzwingen willst, dass hier die
geometrische Verteilung zum Einsatz kommen soll,
dann kannst du das schon haben - es wird nur nicht
einfacher !
Die Aussage "keine Sechs in n Würfen" könnte man auch
formulieren als: "erste Sechs frühestens im (n+1)-ten Wurf"
Dann wird
P(keine Sechs in n Würfen)
= [mm] $\summe_{k=n+1}^{\infty}$P(erste [/mm] Sechs im k-ten Wurf)
$\ =\ [mm] \summe_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{6}*\left(1-\frac{1}{6}\right)^{k-1}$
[/mm]
Inhaltlich gesehen ist das zwar wie das von hinten
aufgezäumte Pferd, denn zur Herleitung der geome-
trischen Verteilung geht man zunächst von der
einfacheren Binomialverteilung aus.
LG Al-Chw.
|
|
|
|
