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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:26 Sa 28.04.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Sei A [mm] \in M_{n \times n} (\IC) [/mm] . Zeige
[mm] \frac{d}{dt}|_0 det(I_n [/mm] + t A) = tr(A). |
Ich verstehe die SChreibweise nicht, was soll [mm] \frac{d}{dt}|_0 [/mm] den bedeuten? Ableiten nach t mit nur einer unteren Grenze 0 ???
tr(A) ist die SPur, also die Summe der Diagonalelemente.
Ich scheietere also schon am Verständnis der AUfgabe!
Tipps?
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 So 29.04.2012 | | Autor: | huzein |
Diese Notation bedeutet die Ableitung nach der Variablen $t$ und dann die Ableitung ausgewertet an der Stelle $t=0$.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:43 So 29.04.2012 | | Autor: | Lu- |
ok, danke
Aber wie kann ich hier ableiten bzgl. Determinante und allem?
Kannst du mir noch einen Tipp geben, wie ich mit der aufgabe beginnen soll?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:19 So 29.04.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo Lu-,
betrachte erstmal den Fall n=2 (oder n=1, aber der ist schon arg trivial):
[mm]A:=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\
a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}[/mm] mit [mm]a_{ij}\in\mathbb C[/mm]
[mm]\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}(I_n+tA)=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\begin{pmatrix}1+ta_{11}&ta_{12}\\
ta_{21}&1+ta_{22}\end{pmatrix}=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\Big[(1+ta_{11})(1+a_{22})-t^2a_{12}a_{21})\Big][/mm]
Jetzt leite den Term in der eckigen Klammer nach t ab und setzte t=0. Du wirst sehen, dass [mm]\ldots= a_{11}+a_{22}=\operatorname{Tr}(A)[/mm] rauskommt.
Weiter hab ich mich noch nicht mit der Aufgabe befasst, aber ich würde spontan an Induktion nach n denken...
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 So 29.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> $ \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}(I_n+tA)=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\begin{pmatrix}1+ta_{11}&ta_{12}\\ ta_{21}&1+ta_{22}\end{pmatrix}=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\Big[(1+ta_{11})(1+a_{22})-t^2a_{12}a_{21})\Big] $
= \frac{d}{dt}\right|_{t=0}\Big[1+a_{22} +t a_{11} + a_{22} *t*a_{11}- t^2 a_{12}*a_{21})\Big] $= a_{11} + a_{22} * a_{11}- 2ta_{21} a_{12} |_{t=0} = a_{11} + a_{22} * a_{11}
leider nicht die SPur ;(
Die Formel gelte für A_{(n-1)\times(n-1)} Matrizen
$ \frac{d}{dt}|_0 det(I_n $ + t A) = tr(A).
Nun bei einerB \in M_{n \times n} Matrix(mit selbe einträge wie A) kommt komt eine Zeile und Spalte dazu. Die Spur wird um Einen Summand a_{nn} größer. die Leibniz Formel und der La-Placesche Entwicklungssatz helfen mir beide nicht wirklich.
tr(B) =tr(A) + a_{nn} =$ \frac{d}{dt}|_0 det(I_n $ + t A) +a_{nn}
Kannst du mir nochmals helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 So 29.04.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal,
> >
> [mm]\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}(I_n+tA)=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\begin{pmatrix}1+ta_{11}&ta_{12}\\
ta_{21}&1+ta_{22}\end{pmatrix}=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\Big[(1+ta_{11})(1+a_{22})-t^2a_{12}a_{21})\Big][/mm]
>
> = [mm]\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\Big[1+\red{t}a_{22}[/mm] +t [mm]a_{11}[/mm] + [mm]a_{22} *\red{t^2}*a_{11}- t^2 a_{12}*a_{21})\Big][/mm]
du hast die Klammern nicht richtig ausmultipliziert
> $= [mm]a_{11}[/mm] + [mm]a_{22}[/mm] * [mm]a_{11}- 2ta_{21} a_{12} |_{t=0}[/mm] =
> [mm]a_{11}[/mm] + [mm]a_{22}[/mm] * [mm]a_{11}[/mm]
> leider nicht die SPur ;(
Probiers nochmal.
> Die Formel gelte für [mm]A_{(n-1)\times(n-1)}[/mm] Matrizen
> [mm]\frac{d}{dt}|_0 det(I_n[/mm] + t A) = tr(A).
>
> Nun bei einerB [mm]\in M_{n \times n}[/mm] Matrix(mit selbe
> einträge wie A) kommt komt eine Zeile und Spalte dazu. Die
> Spur wird um Einen Summand [mm]a_{nn}[/mm] größer. die Leibniz
> Formel und der La-Placesche Entwicklungssatz helfen mir
> beide nicht wirklich.
> tr(B) =tr(A) + [mm]a_{nn}[/mm] =[mm] \frac{d}{dt}|_0 det(I_n[/mm] + t A)
> [mm]+a_{nn}[/mm]
> Kannst du mir nochmals helfen?
Für [mm]n=2\rightarrow n=3[/mm] geht es so:
[mm]\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}(I_3+tA_3)=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\begin{pmatrix}1+ta_{11}&ta_{12}&ta_{13}\\
ta_{21}&\green{1+a_{22}}&\green{ta_{23}}\\
ta_{31}&\green{ta_{32}}&\green{1+a_{33}}\end{pmatrix}[/mm]
vom grünen Teil (ich nennen ihn mal [mm] $A_2$) [/mm] wissen wir schon (der Fall $n=2$), dass es passt. Entwickle die Determinante z.B. nach der ersten Spalte
[mm]\ldots = \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0} \Big[|A_2| +ta_{11} |A_2|-\red{ta_{21}(ta_{11}(1+ta_{33})-t^2a_{13}a_{32})+ta_{31}(t^2a_{12}a_{23}-ta_{13}(1+ta_{32}))}\Big][/mm]
der ganze rote Teil enthält nur Terme mit Potenten von mindestens [mm] $t^2$, [/mm] beim Ableiten bleibt also t stehen. wenn 0 eingesetzt wird, fällt das also alles weg.
Jetzt bist du wieder dran.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:58 So 29.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> $ \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}(I_n+tA)=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\begin{pmatrix}1+ta_{11}&ta_{12}\\ ta_{21}&1+ta_{22}\end{pmatrix}=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\Big[(1+ta_{11})(1+a_{22})-t^2a_{12}a_{21})\Big] $
>
= $ \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\Big[1+a_{22}+t*a_{11}+t*a_{11} *a_{22} - t^2 a_{11} a_{21})\Big] $= a_{11} + a_{11}*a_{22} -2*0 * a_{11}*a_{21}
Wo ist da der Fehler, ich hab das paar mal nun gerechnet, aber die SPur kommt nicht raus ;(
> Für $ n=2\rightarrow n=3 $ geht es so:
$ \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}(I_3+tA_3)=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\begin{pmatrix}1+ta_{11}&ta_{12}&ta_{13}\\ ta_{21}&\green{1+a_{22}}&\green{ta_{23}}\\ ta_{31}&\green{ta_{32}}&\green{1+a_{33}}\end{pmatrix} $
> vom grünen Teil (ich nennen ihn mal $ A_2 $) wissen wir schon (der Fall $ n=2 $), dass es passt. Entwickle die Determinante z.B. nach der ersten Spalte
> $ \ldots = \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0} \Big[|A_2| +ta_{11} |A_2|-\red{ta_{21}(ta_{11}(1+ta_{33})-t^2a_{13}a_{32})+ta_{31}(t^2a_{12}a_{23}-ta_{13}(1+ta_{32}))}\Big] $
Aber dann bleibt doch über tr(A_2) + a_{11} * tr(A_2)
Dass ich doch dann noch mal multipliziert mit tr( A_2 )??
Angenommen die Gleichung gilt für A_{n-1 \times n-1}
Zuzeigen für A_{n \times n}
\frac{d}{dt}\right|_{t=0}(I_n+tA_n)=\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\pmat{ 1+ta_{11} & ta_{12}&..&ta_{1,n-1}&ta_{1,n} \\ ta_{21} & 1+ta_{22}&..&ta_{2,n-1}&ta_{2,n} \\ \vdots& &..&& \vdots\\ta_{n-1,1} & ta_{n-1,2}&..&1+ta_{n-1,n-1}&ta_{n-1,n} \\ta_{n1} & ta_{n2}&..&ta_{n,n-1}&1+ta_{n,n}}=
\frac{d}{dt}\right|_{t=0} [ (1+ta_{11}) * det\pmat{ 1+ta_{22}&..&ta_{2,n-1}&ta_{2,n} \\ \vdots& ..&&\vdots\\ ta_{n-1,2}&..&1+ta_{n-1,n-1}&ta_{n-1,n} \\ta_{n2}&..&ta_{n,n-1}&1+ta_{n,n}} $ + ta_{21} *\pmat{ ta_{12}&..&ta_{1,n-1}&ta_{1,n} \\ \vdots &..&& \vdots\\ ta_{n-1,2}&..&1+ta_{n-1,n-1}&ta_{n-1,n} \\ ta_{n2}&..&ta_{n,n-1}&1+ta_{n,n}} + .. +
ta_{n-1,1}*\pmat{ ta_{12}&..&ta_{1,n-1}&ta_{1,n} \\ 1+ta_{22}&..&ta_{2,n-1}&ta_{2,n} \\ \vdots&..&& \vdots\\ta_{n2}&..&ta_{n,n-1}&1+ta_{n,n}} + ta_{n1}*\pmat{ ta_{12}&..&ta_{1,n-1}&ta_{1,n} \\ 1+ta_{22}&..&ta_{2,n-1}&ta_{2,n} \\ &..&& \vdots\\ ta_{n-1,2}&..&1+ta_{n-1,n-1}&ta_{n-1,n} \\}
Nun sind das alles determinanten von (n-1) x (n-1) matrizen und da wissen wir laut Induktionsvorrausetzung, das es passt.
Durch die großen matrizen bin ich etwas verwirrt was den Rest angeht^^
Hier kann ich ja nicht sagen der teil enthält nur Terme mit Potenten von mindestens t^2, weil das sehe ich hier nicht so leicht. Oder wie sehe ich das?
Libe Grüße
danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:36 Mo 30.04.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo Lu-,
> >
> [mm]\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}(I_n+tA)=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\begin{pmatrix}1+ta_{11}&ta_{12}\\
ta_{21}&1+ta_{22}\end{pmatrix}=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\Big[(1+ta_{11})(1+a_{22})-t^2a_{12}a_{21})\Big][/mm]
>
> >
> =
> [mm]\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\Big[1+a_{22}+t*a_{11}+t*a_{11} *a_{22} - t^2 a_{11} a_{21})\Big] [/mm]=
> [mm]a_{11}[/mm] + [mm]a_{11}*a_{22}[/mm] -2*0 * [mm]a_{11}*a_{21}[/mm]
> Wo ist da der Fehler, ich hab das paar mal nun gerechnet,
> aber die SPur kommt nicht raus ;(
siehe mein letzter Post: du hast ein paar t's vergessen. Richtig muss es heißen
[mm]\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\Big[1+t*a_{22}+t*a_{11}+t^2*a_{11} *a_{22} - t^2 a_{11} a_{21})\Big]=\left.\Big[ a_{22}+a_{11}+2t(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} )\Big]\right|_{t=0}=a_{11}+a_{22}=\operatorname{Tr}(A_2)[/mm]
> > Für [mm]n=2\rightarrow n=3[/mm] geht es so:
>
> [mm]\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}(I_3+tA_3)=\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\begin{pmatrix}1+ta_{11}&ta_{12}&ta_{13}\\
ta_{21}&\green{1+a_{22}}&\green{ta_{23}}\\
ta_{31}&\green{ta_{32}}&\green{1+a_{33}}\end{pmatrix}[/mm]
>
> > vom grünen Teil (ich nennen ihn mal [mm]A_2 [/mm]) wissen wir schon
> (der Fall [mm]n=2 [/mm]), dass es passt. Entwickle die Determinante
> z.B. nach der ersten Spalte
>
> > [mm]\ldots = \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0} \Big[|A_2| +ta_{11} |A_2|-\red{ta_{21}(ta_{11}(1+ta_{33})-t^2a_{13}a_{32})+ta_{31}(t^2a_{12}a_{23}-ta_{13}(1+ta_{32}))}\Big][/mm]
>
> Aber dann bleibt doch über [mm]tr(A_2)[/mm] + [mm]a_{11}[/mm] * [mm]tr(A_2)[/mm]
> Dass ich doch dann noch mal multipliziert mit tr( [mm]A_2[/mm] )??
>
Nein, nicht ganz.
Also, wir sind uns erstmal einig, dass der rote Teil beim Ableiten und t=0 setzen wegfällt... Bleibt der schwarze Teil. Anders geschrieben steht da
[mm]\underbrace{\blue{\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0} |A_2|}}_{=a_{22}+a_{33}} +\green{ \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0} ta_{11}|A_2|}=\blue{a_{22}+a_{33}}+\green{a_{11}|A_2|+ta_{11}\frac{d}{dt}|A_2|}[/mm],
wobei beim grünen Teil auf der rechten Seite noch t=0 eingesetzt werden muss. Der allerletzte Term wird dann Null, der vorletzte Term wird zu [mm] $a_{11}*1$ [/mm] - es passt also.
> Angenommen die Gleichung gilt für [mm]A_{n-1 \times n-1}[/mm]
>
> Zuzeigen für [mm]A_{n \times n}[/mm]
>
> [mm]\frac{d}{dt}\right|_{t=0}(I_n+tA_n)=\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\pmat{ 1+ta_{11} & ta_{12}&..&ta_{1,n-1}&ta_{1,n} \\
ta_{21} & 1+ta_{22}&..&ta_{2,n-1}&ta_{2,n} \\
\vdots& &..&& \vdots\\
ta_{n-1,1} & ta_{n-1,2}&..&1+ta_{n-1,n-1}&ta_{n-1,n} \\
ta_{n1} & ta_{n2}&..&ta_{n,n-1}&1+ta_{n,n}}=[/mm]
>
>
> [mm]\frac{d}{dt}\right|_{t=0}[/mm] [ [mm](1+ta_{11})[/mm] * [mm]det\pmat{ 1+ta_{22}&..&ta_{2,n-1}&ta_{2,n} \\
\vdots& ..&&\vdots\\
ta_{n-1,2}&..&1+ta_{n-1,n-1}&ta_{n-1,n} \\
ta_{n2}&..&ta_{n,n-1}&1+ta_{n,n}}[/mm]
> $ + [mm]ta_{21} *\pmat{ ta_{12}&..&ta_{1,n-1}&ta_{1,n} \\
\vdots &..&& \vdots\\
ta_{n-1,2}&..&1+ta_{n-1,n-1}&ta_{n-1,n} \\
ta_{n2}&..&ta_{n,n-1}&1+ta_{n,n}}[/mm]
> + .. +
>
> [mm]ta_{n-1,1}*\pmat{ ta_{12}&..&ta_{1,n-1}&ta_{1,n} \\
1+ta_{22}&..&ta_{2,n-1}&ta_{2,n} \\
\vdots&..&& \vdots\\
ta_{n2}&..&ta_{n,n-1}&1+ta_{n,n}}[/mm]
> + [mm]ta_{n1}*\pmat{ ta_{12}&..&ta_{1,n-1}&ta_{1,n} \\
1+ta_{22}&..&ta_{2,n-1}&ta_{2,n} \\
&..&& \vdots\\
ta_{n-1,2}&..&1+ta_{n-1,n-1}&ta_{n-1,n} \\
}[/mm]
>
>
> Nun sind das alles determinanten von (n-1) x (n-1) matrizen
> und da wissen wir laut Induktionsvorrausetzung, das es
> passt.
Ganz so einfach ist es leider nicht. Es "passt" nicht bei jeder (n-1)x(n-1)-Matrix, sonder nur bei solchen, die auf der Diagonalen Einträge der Form [mm] $1+ta_{ij}$ [/mm] haben, das ist hier nicht bei allen der Fall.
Du musst begründen, dass genau die Determinanten, bei denen die Diagonaleinträge eben nicht diese Form haben Null rauskommt (nach dem Ableiten und t=0 einsetzen) und dass bei den anderen genau die Spur übrigbleibt.
> Durch die großen matrizen bin ich etwas verwirrt was den
> Rest angeht^^
> Hier kann ich ja nicht sagen der teil enthält nur Terme
> mit Potenten von mindestens [mm]t^2,[/mm] weil das sehe ich hier
> nicht so leicht. Oder wie sehe ich das?
Hmm... ich muss zugeben, ich "sehe" das hier auch nicht. Es ist zwar irgendwie klar, dass die Potenzen von t mit steigendem n immer größer werden, aber ein schlüssiges Argument habe ich (noch) nicht. Vielleicht geht es auch einfacher als mit der Induktion. Damit sich auch noch andere Helfer Gedanken machen können, lasse ich die Frage mal auf halbbeantwortet.
Lieben Gruß,
Fulla
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 16:16 Mo 30.04.2012 | | Autor: | Lu- |
danke ich habs.
lg
Du hast mir sehr geholfen!
Nur eine Frage noch für den fall per Induktion auf n=3 geschlossen:
> wobei beim grünen Teil auf der rechten Seite noch t=0 eingesetzt werden muss. Der allerletzte Term wird dann Null, der vorletzte Term wird zu $ [mm] a_{11}\cdot{}1 [/mm] $ - es passt also.
Warum ist [mm] |A_2| [/mm] =1?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 02.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 01.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Mi 02.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Die Schriebweise ist geklärt. Vielleicht hilft Dir dann das:
Sei p das char. Polynom von -A.
p hat die Gestalt:
(*) p(x)= [mm] x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0.
[/mm]
Nun ist
(**) [mm] -a_{n-1}=spur(-A)
[/mm]
(siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Charakteristisches_Polynom).
Setze f(x):=det(I+xA). Dann ist für x [mm] \ne [/mm] 0:
[mm] f(x)=det(x(\bruch{1}{x}I-(-A))=x^np(1/x).
[/mm]
Rechne das mal aus ( mit (*)).
Dann bekommst Du:
f(x)= [mm] 1+a_{n-1}x+...+a_1x^{n-1}+a_0x^n.
[/mm]
Das gilt natürlich auch für x=0 (warum ?)
Damit ist [mm] f'(0)=a_{n-1}. [/mm] Nun schau mal auf (**)
FRED
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