Spur einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 Do 07.06.2007 | | Autor: | Clarix |
| Aufgabe | Die Spur tr(A) einer quadratischen Matrix A ist die Summe der Hauptdiagonalelemente. Man zeige:
a) tr(AB) = tr(BA)
b) Die Spur ist unabhängig von der Wahl der Basis
c) Die Spur ist die Summe der Eigenwerte, wobei man die k-fachen Eigenwerte (algebraische Vielfachheit) k-fach addiert. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mir fehlt jeglicher Lösungsansatz.
Bitte um möglichst baldige Hilfe!
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> Die Spur tr(A) einer quadratischen Matrix A ist die Summe
> der Hauptdiagonalelemente. Man zeige:
> a) tr(AB) = tr(BA)
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Sei [mm] A:=(a_i_j) [/mm] und [mm] B:=(b_i_j).
[/mm]
Diagonalelemente von AB und BA berechnen und jeweis summieren.
> b) Die Spur ist unabhängig von der Wahl der Basis
Wenn man eine andere Basis wählt, gibt es eine Matrix T so, daß die neue Matrix aus A hervorgeht durch [mm] T^{-1}AT.
[/mm]
Nun a) verwenden.
> c) Die Spur ist die Summe der Eigenwerte, wobei man die
> k-fachen Eigenwerte (algebraische Vielfachheit) k-fach
> addiert.
Über [mm] \IC [/mm] ist jede quadratische Matrix ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Do 07.06.2007 | | Autor: | Clarix |
Okay a und b verstehe ich, aber könntest du bitte c ein wenig genauer erklären? Danke schon mal für die hilfreichen tipps...
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> Okay a und b verstehe ich, aber könntest du bitte c ein
> wenig genauer erklären? Danke schon mal für die hilfreichen
> tipps...
Hallo,
berechne die Spur einer beliebigen oberen Dreiecksmatrix und berechne ihre Eigenwerte.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Do 07.06.2007 | | Autor: | Clarix |
Ich habe die Aufgaben jetzt soweit gelöst. Allerdings sehe ich einen Haken an der Sache... Ich kann mit den Mitteln, die mir zur Verfügung stehen nicht beweisen, dass jede quadratische Matrix ähnlich zu einer Dreiecksmatrix ist... ich kann das ja nicht einfach voraussetzen, oder?
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Hiho,
sicher musst du immer überlegen, was du benutzen darfst, und was nicht.
Wenn du allerdings Eigenwerte hattest, habt ihr bestimmt auch schon folgendes gezeigt:
Sei A eine Matrix, dann gibt es eine Transformationsmatrix S, so dass A' = [mm] S^{-1}*A*S [/mm] die Matrix ist, bei der die Eigenwerte von A auf der Hauptdiagonalen stehen.
Nun a) verwenden, fertig.
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