Spur einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Leute!
Ich habe in Lineare Algebra eine Übungsaufgabe zu bewältigen, habe aber leider gar keine Ahnung, was ich machen soll. Hier die Aufgabe:
Für A= ( [mm] \alpha_i_j) \in M^{n\times n}(K) [/mm] ist Spur A= [mm] \summe_{i=1}^{n} \alpha_i_i. [/mm] Man zeige: Spur AB = Spur BA A,B [mm] \in M^{n\times n}(K).
[/mm]
Ich weiß, dass die Spur von A die Summe der Diagonalelemente ist, falls A eine [mm] {n\times n} [/mm] Matrix ist. Spur AB = Spur BA ist dabei eine Eigenschaft der Matrix. Ich weiß bloß nicht, wie ich das zeigen soll.
Kann mir jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:37 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Versuche doch einmal, eine Formel für die Spur der Matrizen [mm] $A\cdot [/mm] B$ und [mm] $B\cdot [/mm] A$ aufzustellen. Wenn diese richtig ist, so wirst du schnell erkennen, warum beide den gleichen Wert annehmen.
Zur Info: wenn [mm] $C:=A\cdot [/mm] B$, dann ist
[mm] $c_{ij}=\summe_{k=1}^{n} a_{ik}\cdot b_{kj}$.
[/mm]
Dich interessieren in diesem Falle nur die [mm] $c_{ii}$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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