Spur von Matrizen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:16 So 15.01.2012 | | Autor: | DudiPupan |
| Aufgabe | Sei $K$ ein Körper.
Zu [mm] $M\in Mat_{n\times n}(K)$ [/mm] sei [mm] $tr(M)=\summe_{i=1}^{n}A_{ii}$, [/mm] genannt Spur von M.
Zeigen Sie:
a) $tr: [mm] Mat_{n\times n} \rightarrow [/mm] K$ ist $K$-linear.
b)Für alle [mm] $$A,B\in Mat_{n\times n}(K)$ [/mm] ist $tr(AB)=tr(BA)$.
c)Für jedes [mm] $n\in \IN [/mm] $ gilt: Genau dann existiert zu jedem [mm] $A\in Mat_{n\times n}(K)$ [/mm] ein [mm] $a\in [/mm] K$ mit [mm] $tr(a-aI_n)=0$, [/mm] wenn $char(K)$ kein Teiler von $n$ ist. |
Hallo Allerseits :)
Die a) und die b) habe ich gelöst, habe allerdings Probleme bei der c) und würde mich über ein weniger Hilfe freuen :)
Vielen Dank
und LG
Dudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 So 15.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Dudi!
> Sei [mm]K[/mm] ein Körper.
> Zu [mm]M\in Mat_{n\times n}(K)[/mm] sei
> [mm]tr(M)=\summe_{i=1}^{n}A_{ii}[/mm], genannt Spur von M.
> Zeigen Sie:
> a) [mm]tr: Mat_{n\times n} \rightarrow K[/mm] ist [mm]K[/mm]-linear.
> b)Für alle [mm]$$A,B\in Mat_{n\times n}(K)$[/mm] ist
> $tr(AB)=tr(BA)$.
> c)Für jedes [mm]n\in \IN[/mm] gilt: Genau dann existiert zu jedem
> [mm]A\in Mat_{n\times n}(K)[/mm] ein [mm]a\in K[/mm] mit [mm]tr(a-aI_n)=0[/mm], wenn
> [mm]char(K)[/mm] kein Teiler von [mm]n[/mm] ist.
Das soll ganz sicher $tr(A - a [mm] I_n)$ [/mm] heissen und nicht $tr(a - a [mm] I_n)$, [/mm] oder?
> Die a) und die b) habe ich gelöst, habe allerdings
> Probleme bei der c) und würde mich über ein weniger Hilfe
> freuen :)
Verrate uns doch mal, was du bei der c) schon gemacht hast.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:32 So 15.01.2012 | | Autor: | DudiPupan |
> Moin Dudi!
>
> > Sei [mm]K[/mm] ein Körper.
> > Zu [mm]M\in Mat_{n\times n}(K)[/mm] sei
> > [mm]tr(M)=\summe_{i=1}^{n}A_{ii}[/mm], genannt Spur von M.
> > Zeigen Sie:
> > a) [mm]tr: Mat_{n\times n} \rightarrow K[/mm] ist [mm]K[/mm]-linear.
> > b)Für alle [mm]$$A,B\in Mat_{n\times n}(K)$[/mm] ist
> > [mm]tr(AB)=tr(BA)[/mm].
> > c)Für jedes [mm]n\in \IN[/mm] gilt: Genau dann existiert zu
> jedem
> > [mm]A\in Mat_{n\times n}(K)[/mm] ein [mm]a\in K[/mm] mit [mm]tr(a-aI_n)=0[/mm], wenn
> > [mm]char(K)[/mm] kein Teiler von [mm]n[/mm] ist.
>
> Das soll ganz sicher [mm]tr(A - a I_n)[/mm] heissen und nicht [mm]tr(a - a I_n)[/mm],
> oder?
Also in der Aufgabe steht [mm]tr(A - a I_n)[/mm], also müsste das schon passen :)
Also wäre ja: $tr(A - a [mm] I_n)=\summe_{i=1}^n(A-aI_n)_{ii}=\summe_{i=1}^n A_{ii}-(aI_n)_{ii}=\summe_{i=1}^n A_{ii}-\summe_{i=1}^n (aI_n)_{ii}=tr(A)-tr(A)=0$
[/mm]
???
LG
Dudi
>
> > Die a) und die b) habe ich gelöst, habe allerdings
> > Probleme bei der c) und würde mich über ein weniger Hilfe
> > freuen :)
>
> Verrate uns doch mal, was du bei der c) schon gemacht
> hast.
>
> LG Felix
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 So 15.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Sei [mm]K[/mm] ein Körper.
> > > Zu [mm]M\in Mat_{n\times n}(K)[/mm] sei
> > > [mm]tr(M)=\summe_{i=1}^{n}A_{ii}[/mm], genannt Spur von M.
> > > Zeigen Sie:
> > > a) [mm]tr: Mat_{n\times n} \rightarrow K[/mm] ist [mm]K[/mm]-linear.
> > > b)Für alle [mm]$$A,B\in Mat_{n\times n}(K)$[/mm] ist
> > > [mm]tr(AB)=tr(BA)[/mm].
> > > c)Für jedes [mm]n\in \IN[/mm] gilt: Genau dann existiert zu
> > jedem
> > > [mm]A\in Mat_{n\times n}(K)[/mm] ein [mm]a\in K[/mm] mit [mm]tr(a-aI_n)=0[/mm], wenn
> > > [mm]char(K)[/mm] kein Teiler von [mm]n[/mm] ist.
> >
> > Das soll ganz sicher [mm]tr(A - a I_n)[/mm] heissen und nicht [mm]tr(a - a I_n)[/mm],
> > oder?
>
> Also in der Aufgabe steht [mm]tr(A - a I_n)[/mm], also müsste das
> schon passen :)
>
> Also wäre ja: [mm]tr(A - a I_n)=\summe_{i=1}^n(A-aI_n)_{ii}=\summe_{i=1}^n A_{ii}-(aI_n)_{ii}=\summe_{i=1}^n A_{ii}-\summe_{i=1}^n (aI_n)_{ii}=tr(A)-tr(A)=0[/mm]
Und warum ist [mm] $\sum_{i=1}^n (aI_n)_{ii} [/mm] = tr(A)$?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:09 So 15.01.2012 | | Autor: | DudiPupan |
> Moin!
>
> > > > Sei [mm]K[/mm] ein Körper.
> > > > Zu [mm]M\in Mat_{n\times n}(K)[/mm] sei
> > > > [mm]tr(M)=\summe_{i=1}^{n}A_{ii}[/mm], genannt Spur von M.
> > > > Zeigen Sie:
> > > > a) [mm]tr: Mat_{n\times n} \rightarrow K[/mm] ist
> [mm]K[/mm]-linear.
> > > > b)Für alle [mm]$$A,B\in Mat_{n\times n}(K)$[/mm] ist
> > > > [mm]tr(AB)=tr(BA)[/mm].
> > > > c)Für jedes [mm]n\in \IN[/mm] gilt: Genau dann existiert
> zu
> > > jedem
> > > > [mm]A\in Mat_{n\times n}(K)[/mm] ein [mm]a\in K[/mm] mit [mm]tr(a-aI_n)=0[/mm], wenn
> > > > [mm]char(K)[/mm] kein Teiler von [mm]n[/mm] ist.
> > >
> > > Das soll ganz sicher [mm]tr(A - a I_n)[/mm] heissen und nicht [mm]tr(a - a I_n)[/mm],
> > > oder?
> >
> > Also in der Aufgabe steht [mm]tr(A - a I_n)[/mm], also müsste das
> > schon passen :)
> >
> > Also wäre ja: [mm]tr(A - a I_n)=\summe_{i=1}^n(A-aI_n)_{ii}=\summe_{i=1}^n A_{ii}-(aI_n)_{ii}=\summe_{i=1}^n A_{ii}-\summe_{i=1}^n (aI_n)_{ii}=tr(A)-tr(A)=0[/mm]
>
> Und warum ist [mm]\sum_{i=1}^n (aI_n)_{ii} = tr(A)[/mm]?
Naja, wir haben ja die Einheitsmatrix [mm] $I_n$, [/mm] deren Einträge [mm] a_{ii}=1 [/mm] sind und somit ergibt sich für [mm] $(aI_n)_{ii}=a_{ii}$.
[/mm]
Also:
[mm] $tr(aI_n)=\summe_{i=1}^n (aI_n)_{ii}=\summe_{i=1}^n a_{ii}=tr(A)$
[/mm]
>
> LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:10 So 15.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > > > Sei [mm]K[/mm] ein Körper.
> > > > > Zu [mm]M\in Mat_{n\times n}(K)[/mm] sei
> > > > > [mm]tr(M)=\summe_{i=1}^{n}A_{ii}[/mm], genannt Spur von M.
> > > > > Zeigen Sie:
> > > > > a) [mm]tr: Mat_{n\times n} \rightarrow K[/mm] ist
> > [mm]K[/mm]-linear.
> > > > > b)Für alle [mm]$$A,B\in Mat_{n\times n}(K)$[/mm] ist
> > > > > [mm]tr(AB)=tr(BA)[/mm].
> > > > > c)Für jedes [mm]n\in \IN[/mm] gilt: Genau dann
> existiert
> > zu
> > > > jedem
> > > > > [mm]A\in Mat_{n\times n}(K)[/mm] ein [mm]a\in K[/mm] mit [mm]tr(a-aI_n)=0[/mm], wenn
> > > > > [mm]char(K)[/mm] kein Teiler von [mm]n[/mm] ist.
> > > >
> > > > Das soll ganz sicher [mm]tr(A - a I_n)[/mm] heissen und nicht [mm]tr(a - a I_n)[/mm],
> > > > oder?
> > >
> > > Also in der Aufgabe steht [mm]tr(A - a I_n)[/mm], also müsste das
> > > schon passen :)
> > >
> > > Also wäre ja: [mm]tr(A - a I_n)=\summe_{i=1}^n(A-aI_n)_{ii}=\summe_{i=1}^n A_{ii}-(aI_n)_{ii}=\summe_{i=1}^n A_{ii}-\summe_{i=1}^n (aI_n)_{ii}=tr(A)-tr(A)=0[/mm]
>
> >
> > Und warum ist [mm]\sum_{i=1}^n (aI_n)_{ii} = tr(A)[/mm]?
>
> Naja, wir haben ja die Einheitsmatrix [mm]I_n[/mm], deren Einträge
> [mm]a_{ii}=1[/mm] sind und somit ergibt sich für
> [mm](aI_n)_{ii}=a_{ii}[/mm].
> Also:
> [mm]tr(aI_n)=\summe_{i=1}^n (aI_n)_{ii}=\summe_{i=1}^n a_{ii}=tr(A)[/mm]
Du darfst nicht $a$ mit $A$ verwechseln! Das $a$ ist ein Skalar, und $A$ ist eine Matrix!
Der Skalar $a$ hat nichts mit den Eintraegen [mm] $a_{ii}$ [/mm] der Matrix $A$ zu tun!
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:19 So 15.01.2012 | | Autor: | DudiPupan |
Oh, stimmt, mein Fehler.
Dann wäre ja [mm] $tr(aI_n)=\summe_{i=1}^n (aI_n)_{ii} [/mm] = a [mm] \summe_{i=1}^n (I_n)_{ii}=a*n*1$
[/mm]
aber wie komm ich dann wieder auf $tr(A)$?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:35 So 15.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Oh, stimmt, mein Fehler.
> Dann wäre ja [mm]tr(aI_n)=\summe_{i=1}^n (aI_n)_{ii} = a \summe_{i=1}^n (I_n)_{ii}=a*n*1[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aber wie komm ich dann wieder auf [mm]tr(A)[/mm]?
Nun, du willst ja $tr(A - a [mm] I_n) [/mm] = 0$ haben, und dazu sollst du einen Wert fuer $a$ waehlen.
Jetzt ist $tr(A - a [mm] I_n) [/mm] = tr(A) - a [mm] \cdot [/mm] n [mm] \cdot [/mm] 1$.
Also, wie solltest du $a$ waehlen? Und geht das immer?
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 So 15.01.2012 | | Autor: | DudiPupan |
> Moin!
>
> > Oh, stimmt, mein Fehler.
> > Dann wäre ja [mm]tr(aI_n)=\summe_{i=1}^n (aI_n)_{ii} = a \summe_{i=1}^n (I_n)_{ii}=a*n*1[/mm]
>
>
>
> > aber wie komm ich dann wieder auf [mm]tr(A)[/mm]?
>
> Nun, du willst ja [mm]tr(A - a I_n) = 0[/mm] haben, und dazu sollst
> du einen Wert fuer [mm]a[/mm] waehlen.
>
> Jetzt ist [mm]tr(A - a I_n) = tr(A) - a \cdot n \cdot 1[/mm].
Kann ich das dann einfach Umformen zu
[mm]tr(A - a I_n) = tr(A) - a \cdot n \cdot 1=0 [/mm] [mm] $|+aI_n$
[/mm]
[mm] $tr(A)=aI_n$ $|*\bruch{1}{n}$
[/mm]
[mm] $a=\bruch{tr(A)}{n}$
[/mm]
?
>
> Also, wie solltest du [mm]a[/mm] waehlen? Und geht das immer?
>
> LG Felix
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:01 So 15.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > aber wie komm ich dann wieder auf [mm]tr(A)[/mm]?
> >
> > Nun, du willst ja [mm]tr(A - a I_n) = 0[/mm] haben, und dazu sollst
> > du einen Wert fuer [mm]a[/mm] waehlen.
> >
> > Jetzt ist [mm]tr(A - a I_n) = tr(A) - a \cdot n \cdot 1[/mm].
>
> Kann ich das dann einfach Umformen zu
> [mm]tr(A - a I_n) = tr(A) - a \cdot n \cdot 1=0[/mm] [mm]|+aI_n[/mm]
Du willst da ganz bestimmt nicht $+a [mm] I_n$ [/mm] hinzuaddieren!
> [mm]tr(A)=aI_n[/mm] [mm]|*\bruch{1}{n}[/mm]
Und die Gleichung sieht auch anders aus. Ansonstne kommst du gar nicht hierzu:
> [mm]a=\bruch{tr(A)}{n}[/mm]
Das stimmt -- zumindest falls du durch $n$ teilen kannst. Geht das immer? Und wenn nicht, wann geht es?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:12 So 15.01.2012 | | Autor: | DudiPupan |
> Moin!
>
> > > > aber wie komm ich dann wieder auf [mm]tr(A)[/mm]?
> > >
> > > Nun, du willst ja [mm]tr(A - a I_n) = 0[/mm] haben, und dazu sollst
> > > du einen Wert fuer [mm]a[/mm] waehlen.
> > >
> > > Jetzt ist [mm]tr(A - a I_n) = tr(A) - a \cdot n \cdot 1[/mm].
> >
>
> > Kann ich das dann einfach Umformen zu
> > [mm]tr(A - a I_n) = tr(A) - a \cdot n \cdot 1=0[/mm] [mm]|+aI_n[/mm]
>
> Du willst da ganz bestimmt nicht [mm]+a I_n[/mm] hinzuaddieren!
>
> > [mm]tr(A)=aI_n[/mm] [mm]|*\bruch{1}{n}[/mm]
>
> Und die Gleichung sieht auch anders aus. Ansonstne kommst
> du gar nicht hierzu:
>
> > [mm]a=\bruch{tr(A)}{n}[/mm]
>
Sorry, da hat sich das [mm] $I_n$ [/mm] eingeschlichen :)
Das sollte natürlich ein n sein ;)
Also es geht nur für [mm] $n\not= [/mm] 0$
Daher auch die bedingung, dass $char(K)$ und $n$ teilerfremd sein müssen!
Oder liege ich da falsch :)
Vielen Dank
LG Dudi
> Das stimmt -- zumindest falls du durch [mm]n[/mm] teilen kannst.
> Geht das immer? Und wenn nicht, wann geht es?
>
> LG Felix
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:15 So 15.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > > > aber wie komm ich dann wieder auf [mm]tr(A)[/mm]?
> > > >
> > > > Nun, du willst ja [mm]tr(A - a I_n) = 0[/mm] haben, und dazu sollst
> > > > du einen Wert fuer [mm]a[/mm] waehlen.
> > > >
> > > > Jetzt ist [mm]tr(A - a I_n) = tr(A) - a \cdot n \cdot 1[/mm].
>
> > >
> >
> > > Kann ich das dann einfach Umformen zu
> > > [mm]tr(A - a I_n) = tr(A) - a \cdot n \cdot 1=0[/mm]
> [mm]|+aI_n[/mm]
> >
> > Du willst da ganz bestimmt nicht [mm]+a I_n[/mm] hinzuaddieren!
> >
> > > [mm]tr(A)=aI_n[/mm] [mm]|*\bruch{1}{n}[/mm]
> >
> > Und die Gleichung sieht auch anders aus. Ansonstne kommst
> > du gar nicht hierzu:
> >
> > > [mm]a=\bruch{tr(A)}{n}[/mm]
> >
>
>
> Sorry, da hat sich das [mm]I_n[/mm] eingeschlichen :)
> Das sollte natürlich ein n sein ;)
>
> Also es geht nur für [mm]n\not= 0[/mm]
> Daher auch die bedingung,
> dass [mm]char(K)[/mm] und [mm]n[/mm] teilerfremd sein müssen!
> Oder liege ich da falsch :)
Genau. Wenn also $n$ kein Vielfaches von $Char(K)$ ist, dann ist $n$ in $K$ ungleich 0 und du kannst durch $n$ teilen.
Wenn $n$ in $K$ allerdings gleich 0 ist, bist du noch nicht fertig. Du musst dann ein Beispiel fuer eine Matrix $A$ finden, wo du $a$ waehlen kannst wie du willst, und $tr(A - n [mm] I_n) \neq [/mm] 0$ ist fuer jedes soclhe $a$.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 So 15.01.2012 | | Autor: | DudiPupan |
> Moin!
>
> > > > > > aber wie komm ich dann wieder auf [mm]tr(A)[/mm]?
> > > > >
> > > > > Nun, du willst ja [mm]tr(A - a I_n) = 0[/mm] haben, und dazu sollst
> > > > > du einen Wert fuer [mm]a[/mm] waehlen.
> > > > >
> > > > > Jetzt ist [mm]tr(A - a I_n) = tr(A) - a \cdot n \cdot 1[/mm].
>
> >
> > > >
> > >
> > > > Kann ich das dann einfach Umformen zu
> > > > [mm]tr(A - a I_n) = tr(A) - a \cdot n \cdot 1=0[/mm]
> > [mm]|+aI_n[/mm]
> > >
> > > Du willst da ganz bestimmt nicht [mm]+a I_n[/mm] hinzuaddieren!
> > >
> > > > [mm]tr(A)=aI_n[/mm] [mm]|*\bruch{1}{n}[/mm]
> > >
> > > Und die Gleichung sieht auch anders aus. Ansonstne kommst
> > > du gar nicht hierzu:
> > >
> > > > [mm]a=\bruch{tr(A)}{n}[/mm]
> > >
> >
> >
> > Sorry, da hat sich das [mm]I_n[/mm] eingeschlichen :)
> > Das sollte natürlich ein n sein ;)
> >
> > Also es geht nur für [mm]n\not= 0[/mm]
> > Daher auch die
> bedingung,
> > dass [mm]char(K)[/mm] und [mm]n[/mm] teilerfremd sein müssen!
> > Oder liege ich da falsch :)
>
> Genau. Wenn also [mm]n[/mm] kein Vielfaches von [mm]Char(K)[/mm] ist, dann
> ist [mm]n[/mm] in [mm]K[/mm] ungleich 0 und du kannst durch [mm]n[/mm] teilen.
>
> Wenn [mm]n[/mm] in [mm]K[/mm] allerdings gleich 0 ist, bist du noch nicht
> fertig. Du musst dann ein Beispiel fuer eine Matrix [mm]A[/mm]
> finden, wo du [mm]a[/mm] waehlen kannst wie du willst, und [mm]tr(A - n I_n) \neq 0[/mm]
> ist fuer jedes soclhe [mm]a[/mm].
Aber das wird in der Aufgabenstellung ja nicht verlangt, oder?
Es heißt ja nur, zeige, dass gleich null, wenn a und n teilerfremd
LG
Dudi
>
> LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 So 15.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > > > > > aber wie komm ich dann wieder auf [mm]tr(A)[/mm]?
> > > > > >
> > > > > > Nun, du willst ja [mm]tr(A - a I_n) = 0[/mm] haben, und dazu sollst
> > > > > > du einen Wert fuer [mm]a[/mm] waehlen.
> > > > > >
> > > > > > Jetzt ist [mm]tr(A - a I_n) = tr(A) - a \cdot n \cdot 1[/mm].
>
> >
> > >
> > > > >
> > > >
> > > > > Kann ich das dann einfach Umformen zu
> > > > > [mm]tr(A - a I_n) = tr(A) - a \cdot n \cdot 1=0[/mm]
> > > [mm]|+aI_n[/mm]
> > > >
> > > > Du willst da ganz bestimmt nicht [mm]+a I_n[/mm] hinzuaddieren!
> > > >
> > > > > [mm]tr(A)=aI_n[/mm] [mm]|*\bruch{1}{n}[/mm]
> > > >
> > > > Und die Gleichung sieht auch anders aus. Ansonstne kommst
> > > > du gar nicht hierzu:
> > > >
> > > > > [mm]a=\bruch{tr(A)}{n}[/mm]
> > > >
> > >
> > >
> > > Sorry, da hat sich das [mm]I_n[/mm] eingeschlichen :)
> > > Das sollte natürlich ein n sein ;)
> > >
> > > Also es geht nur für [mm]n\not= 0[/mm]
> > > Daher auch die
> > bedingung,
> > > dass [mm]char(K)[/mm] und [mm]n[/mm] teilerfremd sein müssen!
> > > Oder liege ich da falsch :)
> >
> > Genau. Wenn also [mm]n[/mm] kein Vielfaches von [mm]Char(K)[/mm] ist, dann
> > ist [mm]n[/mm] in [mm]K[/mm] ungleich 0 und du kannst durch [mm]n[/mm] teilen.
> >
> > Wenn [mm]n[/mm] in [mm]K[/mm] allerdings gleich 0 ist, bist du noch nicht
> > fertig. Du musst dann ein Beispiel fuer eine Matrix [mm]A[/mm]
> > finden, wo du [mm]a[/mm] waehlen kannst wie du willst, und [mm]tr(A - n I_n) \neq 0[/mm]
> > ist fuer jedes soclhe [mm]a[/mm].
>
> Aber das wird in der Aufgabenstellung ja nicht verlangt,
> oder?
> Es heißt ja nur, zeige, dass gleich null, wenn a und n
> teilerfremd
Nein, da steht "Genau dann ..., wenn ..."
LG Felix
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Wäre ein Beispiel für solch eine Matrix zum Beispiel:
[mm] $A:=(a+1)I_n$
[/mm]
??
LG
Dudi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 So 15.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, wieso findest du da KEIN a nur das a vin der def. ist nicht das richtige. du solltest doch wohl nen Körper mit char(K)=n nehmen
Gruss leduart
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Also soll ich hier ein numerisches Beispiel wählen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Mo 16.01.2012 | | Autor: | DudiPupan |
Also ich hab mir nochmal Gedanken gemacht:
Ich hab ja:
[mm] $tr(A-aI_n)=tr(A)-na=tr(A)-0$ [/mm] Da $char(K)=n$
somit gilt:
[mm] $tr(A-aI_n)\not= [/mm] 0$, wenn [mm] $tr(A)\not=0$ [/mm] über K
Stimmt das?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Mo 16.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Also ich hab mir nochmal Gedanken gemacht:
>
> Ich hab ja:
>
> [mm]tr(A-aI_n)=tr(A)-na=tr(A)-0[/mm] Da [mm]char(K)=n[/mm]
> somit gilt:
> [mm]tr(A-aI_n)\not= 0[/mm], wenn [mm]tr(A)\not=0[/mm] über K
>
> Stimmt das?
Ja.
Du brauchst jetzt nur noch - moeglichst unabhaengig von $K$ und $n$ - eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix anzugeben, die immer Spur 1 hat. (Oder etwas anderes [mm] $\neq [/mm] 0$, aber 1 erfuellt das in jedem Koerper.)
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:55 Mo 16.01.2012 | | Autor: | DudiPupan |
> Moin!
>
> > Also ich hab mir nochmal Gedanken gemacht:
> >
> > Ich hab ja:
> >
> > [mm]tr(A-aI_n)=tr(A)-na=tr(A)-0[/mm] Da [mm]char(K)=n[/mm]
> > somit gilt:
> > [mm]tr(A-aI_n)\not= 0[/mm], wenn [mm]tr(A)\not=0[/mm] über K
> >
> > Stimmt das?
>
> Ja.
>
> Du brauchst jetzt nur noch - moeglichst unabhaengig von [mm]K[/mm]
> und [mm]n[/mm] - eine [mm]n \times n[/mm]-Matrix anzugeben, die immer Spur 1
> hat. (Oder etwas anderes [mm]\neq 0[/mm], aber 1 erfuellt das in
> jedem Koerper.)
Also das wäre dann Beispielsweise:
[mm] $\pmat{ 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & ... & 0 \\ . & . & ... & .\\ . & . & ... & .\\ . & . & ... & .\\ 0 & 0 & ... & 0\\ }\in Mat_{n\times n}(K)$ [/mm] ??
LG
Dudi
>
> LG Felix
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:21 Mo 16.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > > Ich hab ja:
> > >
> > > [mm]tr(A-aI_n)=tr(A)-na=tr(A)-0[/mm] Da [mm]char(K)=n[/mm]
> > > somit gilt:
> > > [mm]tr(A-aI_n)\not= 0[/mm], wenn [mm]tr(A)\not=0[/mm] über K
> > >
> > > Stimmt das?
> >
> > Ja.
> >
> > Du brauchst jetzt nur noch - moeglichst unabhaengig von [mm]K[/mm]
> > und [mm]n[/mm] - eine [mm]n \times n[/mm]-Matrix anzugeben, die immer Spur 1
> > hat. (Oder etwas anderes [mm]\neq 0[/mm], aber 1 erfuellt das in
> > jedem Koerper.)
>
> Also das wäre dann Beispielsweise:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & ... & 0 \\ . & . & ... & .\\ . & . & ... & .\\ . & . & ... & .\\ 0 & 0 & ... & 0\\ }\in Mat_{n\times n}(K)[/mm]
> ??
was fuer ein Zufall, genau diese Matrix haette ich auch genommen 
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 Mo 16.01.2012 | | Autor: | DudiPupan |
> Moin,
>
> > > > Ich hab ja:
> > > >
> > > > [mm]tr(A-aI_n)=tr(A)-na=tr(A)-0[/mm] Da [mm]char(K)=n[/mm]
> > > > somit gilt:
> > > > [mm]tr(A-aI_n)\not= 0[/mm], wenn [mm]tr(A)\not=0[/mm] über K
> > > >
> > > > Stimmt das?
> > >
> > > Ja.
> > >
> > > Du brauchst jetzt nur noch - moeglichst unabhaengig von [mm]K[/mm]
> > > und [mm]n[/mm] - eine [mm]n \times n[/mm]-Matrix anzugeben, die immer Spur 1
> > > hat. (Oder etwas anderes [mm]\neq 0[/mm], aber 1 erfuellt das in
> > > jedem Koerper.)
> >
> > Also das wäre dann Beispielsweise:
> >
> > [mm]\pmat{ 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & ... & 0 \\ . & . & ... & .\\ . & . & ... & .\\ . & . & ... & .\\ 0 & 0 & ... & 0\\ }\in Mat_{n\times n}(K)[/mm]
> > ??
>
> was fuer ein Zufall, genau diese Matrix haette ich auch
> genommen
Super :)
Vielen Vielen Dank für die super Hilfe, hat mir wirklich sehr viel gebracht!
Und Danke für die Geduld :)
LG
Dudi
>
> LG Felix
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:07 Mo 16.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Dudi,
> Vielen Vielen Dank für die super Hilfe, hat mir wirklich
> sehr viel gebracht!
> Und Danke für die Geduld :)
bitte 
LG Felix
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