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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:51 Sa 23.02.2013 | | Autor: | Boki87 |
| Aufgabe | Gegeben ist folgendes System:
[mm] x_{1}'=-x_{1}^{3}-x_{2}^{3}
[/mm]
[mm] x_{2}'=-x_{2}+\alpha*x_{1}
[/mm]
Für welche [mm] \alpha [/mm] kann die globale asymptotische Stabilität der Ruhelage 0 ausgeschlossen werden? |
Hallo
zunächst habe ich die Linearisierungsmethode probiert, allerdings kann man damit nichts aussagen.
Also habe ich versucht eine Lyapunovfunktion zu bestimmen.
Mein Ansatz war:
[mm] V=\bruch{1}{2}*(ax_{1}^{2}+bx_{2}^{2})>0 [/mm] für a,b > 0
[mm] V'=ax_{1}'x_{1}+bx_{2}'x_{2}
[/mm]
Das System eingesetzt ergibt dann:
[mm] V'=ax_{1}(-x_{1}^{3}-x_{2}^{3})+bx_{2}(-x_{2}+\alpha*x_{1})
[/mm]
[mm] V'=-ax_{1}^{4}-ax_{1}x_{2}^{3}-bx_{2}^{2}+b\alpha*x_{1}x_{2}
[/mm]
Dann habe ich gewählt:
[mm] b=-ax_{1}x_{2}
[/mm]
Damit erhalte ich:
[mm] V'=-ax_{1}^{4}-a\alpha*x_{1}^{2}x_{2}^{2}
[/mm]
[mm] V'=-x_{1}^{2}-\alpha*x_{2}^{2}
[/mm]
Jetzt müsste ich nur noch bestimmen für welche [mm] \alpha [/mm] V' negativ definit [mm] (V'=-x_{1}^{2}-\alpha*x_{2}^{2}<0) [/mm] ist. Aber das kann ich ja jetzt so nicht sagen, da es auch von der Größe von [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] abhängen wird. Also kann ich für kein [mm] \alpha [/mm] globale asymptotische Stabilität ausschließen. Ist das richtig so? Ich habe nämlich den Verdacht, dass mir irgendwo ein Denkfehler unterlaufen ist.
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 26.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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