Stabilität von Fixpunkten < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Lonpos |
| Aufgabe | | Folgende Rekursion: [mm] x_{n+1}=f(x_n), [/mm] x sei ein Fixpunkt der Gleichung, d.h x=f(x) für eine stetig diff. Funktion (in der Nähe von x) [mm] f:\IR->\IR [/mm] |
Jetzt möchte ich zeigen, dass x stabil ist, wenn |f'(x)|<1
Defintion: x heißt stabil, wenn [mm] \forall\epsilon>0 \exists\delta>0, [/mm] so dass [mm] \forall x_0 [/mm] mit [mm] |x_0-x|<\delta [/mm] gilt, dass [mm] |x_k-x|<\epsilon
[/mm]
Ich hätte mir das so überlegt:
Ich definiere [mm] a_k=x_k-x [/mm] und zeige, dass [mm] a_k [/mm] ->0 für [mm] k->\infty
[/mm]
Ich kann zuerst noch die näherungsweise Rekursion bestimmen [mm] a_{k+1}=f'(x)a_k [/mm] mit der epliziten Lösung [mm] a_k=f'(x)^k*a_0
[/mm]
Jetzt möchte ich [mm] a_{k+1}=f(x_k)-f(x) [/mm] mit Taylor entwicklen, darf ich das, wenn ich nicht wieß ob f mehrmals differenzierbar ist? Wie fahre ich dann am besten fort?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Do 01.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit f'<1 kannst du Zaylor 1. Grades natürlich benutzen. wo brauchst du mehr?
Gruss leduart
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