Stabilität von Systemen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:57 Mo 15.12.2008 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | Wir haben das System:
x'(t)=1-x(t)-y(t)+x(t)z(t)
y'(t)=1-y(t)-z(t)+x(t)y(t)
z'(t)=1-z(t)-y(t)+y(t)z(t)
1. Ist das um (1,1,1) linearisierte System stabil oder instabil?
2. Ist der Gleichgewichtspunkt (1,1,1) des ursprünglichen Systems stabil oder instabil? |
Das linearisierte System ist
[mm] \alpha'(t)=\pmat{-1+z & -1 & x \\ y & -1+x & -1\\ 0 & -1+z & -1+y}\alpha(t)
[/mm]
Da muss man jetzt für (x,y,z)=(1,1,1) einsetzen und erhält dann [mm] \pmat{0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0} [/mm]
Diese Matrix hat die Eigenwerte 0, i, -i
Heißt das jetzt, dass das System stabil ist?, weil es zu allen Eigenwerten, wo der der realteil 0 ist alg. Vfh= geom.Vfh. hat?
Oder wie bestimmt man das?
Und was kann ich dann zu der Stabilität des Gleichgewichtspunktes sagen?
Wenn ich jetzt einen Eigenwert hätte mit Realteil >0 dann wäre das Sxstem doch instabil, wäre der Gleichgewichtspunkt dann auch direkt instabil?
Wie ist das Verhältnis zwischen diesen beiden Stabilitäten und wie bestimmt man sie?
Es wäre nett, wenn mir jemand ein paar meiner Fragen beantworten könnte, ich habe das mit der Stabilität nämlich leider nicht so richtig verstanden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Do 18.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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