Stabilität von x'(t)=Ax(t) < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Was kann man über die Stabilität von x'(t)=Ax(t) sagen?
[mm] a)A=\pmat{ -2 & 1 \\ 2 & -1 } b)A=\pmat{ -2 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 } [/mm] und c) [mm] A=\pmat{ -13 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -7 & 0 & 12 \\ -2 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 13 } [/mm] |
Hallo, ich habe versucht, diese Aufgabe zu lösen. Es wäre schön, wenn einer mal drüber gucken könnte und ob es richtig ist und auch richtig begründet und aufgeschrieben.
Zu a)
Eigenwerte bestimmen [mm] (-2-\lambda)(-1-\lambda)-2=\lambda1=-3 [/mm] und [mm] \lambda2=0
[/mm]
Wir haben in der Vorlesung einen Satz, der besagt, dass das lineare System stabil ist, wenn Re [mm] \lambda i\le [/mm] 0 ist und für jedes [mm] \lambda [/mm] i die algebrarische Vielfachheit mit der geometrischen Vielfachheit übereinstimmt.
So, den ersten Teil des Satzes ist richtig, da -3 und 0 [mm] \le [/mm] 0 sind.
Die algebrarische Vielfachheit ist jeweils 1 genauso wie die geometrische Vielfachheit.
=>A ist stabil bzw. neutral stabil, weil es nicht asymptotisch stabil ist weil Re 0 < 0 gelten müsste und das tut es ja nicht.
Zu b)
Man betrachtet wieder die Eigenwerte, dafür benutz man wie oben das charakteristische Polynom und bekommt nach Umformungen das heraus:
[mm] p(\lambda)=\lambda^3-5\lambda^2-\lambda-4=0 [/mm] Eine Lösung zu berechnen geht nur numerisch(Newton-Verfahren), aber ich bin der Meinung, dass man die Nullstelle bzw. den Eigenwert gar nicht explizipt ausrechnen muss. Die Eigenwert liegt bei 5.32855...,also da p(0)=-4, also <0 und p(10)=486>0 ist, folgt nach dem Zwischenwertsatz, dass [mm] p(\lambda) [/mm] eine positive Nullstelle besitzt(weil [mm] p(\lambda) [/mm] stetig ist in diesem Intervall)
Da es einen positiven Eigenwert gibt, ist das System instabil(nach Vorlesung)
Zu c)
Um Eigenwerte auszurechnen, entwickele ich nach Laplace das charakteristische Polynom nach der 3 Spalte und muss nur noch [mm] \pmat{ -13-\lambda & 1 & 0 \\ 0 & -7-\lambda & 12 \\ 5 & 4 & 13-\lambda } [/mm] berechnen. Nach Umformungen bekomme ich [mm] P(\lambda)=-\lambda^3-7\lambda^2+217\lambda+1867 [/mm] und hier verwende ich wieder den Zwischenwertsatz an, da p(0)=1867>0 und p(-30)=-24923<0 und [mm] p(\lambda) [/mm] eine stetige Funktion ist, gibt es eine positive Nullstelle und deswegen ist dieses System auch instabil.
So, das sind meine Überlegungen zu der Aufgabe. Ist das richtig und wenn ja, reicht das aus?
Gruß
TheBozz-mismo
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Hallo,
wenn es nur darum geht zu sagen stabil/instabil, ist diese Vorgehensweise durchaus ausreichend.
> Was kann man über die Stabilität von x'(t)=Ax(t) sagen?
> [mm]a)A=\pmat{ -2 & 1 \\ 2 & -1 } b)A=\pmat{ -2 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 }[/mm]
> und c) [mm]A=\pmat{ -13 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -7 & 0 & 12 \\ -2 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 13 }[/mm]
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> Hallo, ich habe versucht, diese Aufgabe zu lösen. Es wäre
> schön, wenn einer mal drüber gucken könnte und ob es
> richtig ist und auch richtig begründet und
> aufgeschrieben.
> Zu a)
> Eigenwerte bestimmen
> [mm](-2-\lambda)(-1-\lambda)-2=\lambda1=-3[/mm] und [mm]\lambda2=0[/mm]
> Wir haben in der Vorlesung einen Satz, der besagt, dass
> das lineare System stabil ist, wenn Re [mm]\lambda i\le[/mm] 0 ist
> und für jedes [mm]\lambda[/mm] i die algebrarische Vielfachheit mit
> der geometrischen Vielfachheit übereinstimmt.
> So, den ersten Teil des Satzes ist richtig, da -3 und 0
> [mm]\le[/mm] 0 sind.
> Die algebrarische Vielfachheit ist jeweils 1 genauso wie
> die geometrische Vielfachheit.
> =>A ist stabil bzw. neutral stabil, weil es nicht
> asymptotisch stabil ist weil Re 0 < 0 gelten müsste und
> das tut es ja nicht.
ich kenn das als grenzstabil, aber gut das ist ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Zu b)
> Man betrachtet wieder die Eigenwerte, dafür benutz man
> wie oben das charakteristische Polynom und bekommt nach
> Umformungen das heraus:
> [mm]p(\lambda)=\lambda^3-5\lambda^2-\lambda-4=0[/mm] Eine Lösung
> zu berechnen geht nur numerisch(Newton-Verfahren), aber ich
> bin der Meinung, dass man die Nullstelle bzw. den Eigenwert
> gar nicht explizipt ausrechnen muss. Die Eigenwert liegt
> bei 5.32855...,also da p(0)=-4, also <0 und p(10)=486>0
> ist, folgt nach dem Zwischenwertsatz, dass [mm]p(\lambda)[/mm] eine
> positive Nullstelle besitzt(weil [mm]p(\lambda)[/mm] stetig ist in
> diesem Intervall)
> Da es einen positiven Eigenwert gibt, ist das System
> instabil(nach Vorlesung)
vernünftig geschlussfolgert, von daher
> Zu c)
> Um Eigenwerte auszurechnen, entwickele ich nach Laplace
> das charakteristische Polynom nach der 3 Spalte und muss
> nur noch [mm]\pmat{ -13-\lambda & 1 & 0 \\ 0 & -7-\lambda & 12 \\ 5 & 4 & 13-\lambda }[/mm]
> berechnen. Nach Umformungen bekomme ich
> [mm]P(\lambda)=-\lambda^3-7\lambda^2+217\lambda+1867[/mm] und hier
> verwende ich wieder den Zwischenwertsatz an, da p(0)=1867>0
> und p(-30)=-24923<0 und [mm]p(\lambda)[/mm] eine stetige Funktion
> ist, gibt es eine positive Nullstelle und deswegen ist
> dieses System auch instabil.
ich hab als Polynom zwar [mm] s^3 [/mm] + [mm] 7s^2 [/mm] - 169s - 1867 = 0 das ändert aber an der Eigenschaft der Stabilität in diesem Fall nichts. Ich frage mich nur wie du von der Tatsache: zwischen s=-30 und s=0 ist eine Nullstelle, darauf schliesst, dass es eine Nullstelle mir Re > 0 gibt ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
zu zeigen ist, das es ein s>0 gibt, für das das Polynom wieder negativ wird!
> So, das sind meine Überlegungen zu der Aufgabe. Ist das
> richtig und wenn ja, reicht das aus?
Richtig ist es dennoch, c) ist instabil und deine Überlegungen (sofern richtig angewendet) sind für die Aussage stabil/instabil ausreichend. Natürlich musst du für Stabilität alle Eigenwerte bestimmen! Für Instabilität genügt es zu zeigen, dass es einen Eigenwert mit Re>0 gibt.
> Gruß
> TheBozz-mismo
Übrigens als erste Richtlinie. Wir haben das sogenannte Vorzeichenkriterium kennengelernt. Das sagt aus, wenn im charakt. Polynom P(s) = [mm] a_{n}s^n [/mm] + [mm] a_{n-1}s^{n-1} [/mm] + ... + [mm] a_{1}s [/mm] + [mm] a_{0} [/mm] = 0 alle [mm] a_{i} [/mm] das gleiche Vorzeichen haben, ist das ein Hinweis auf Stabilität (notwendiges aber nicht hinreichendes Kriterium). Anders gesagt, haben nicht alle das gleiche Vorzeichen, ist das System instabil.
Gruss Christian
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> Hallo,
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> wenn es nur darum geht zu sagen stabil/instabil, ist diese
> Vorgehensweise durchaus ausreichend.
Ja, das ist ja anzunehmen nach der Aufgabenstellung.Oder?
> ich hab als Polynom zwar [mm]s^3[/mm] + [mm]7s^2[/mm] - 169s - 1867 = 0 das
> ändert aber an der Eigenschaft der Stabilität in diesem
> Fall nichts. Ich frage mich nur wie du von der Tatsache:
> zwischen s=-30 und s=0 ist eine Nullstelle, darauf
> schliesst, dass es eine Nullstelle mir Re > 0 gibt
>
> zu zeigen ist, das es ein s>0 gibt, für das das Polynom
> wieder negativ wird!
Entschuldigung, ich habe mich verschrieben; ich habe s(30) berechnet und dann ist es doch definitiv richtig, da s(0)>0 und s(30)<0 und dazwischen muss eine Nullstelle liegen...oder?
> Übrigens als erste Richtlinie. Wir haben das sogenannte
> Vorzeichenkriterium kennengelernt. Das sagt aus, wenn im
> charakt. Polynom P(s) = [mm]a_{n}s^n[/mm] + [mm]a_{n-1}s^{n-1}[/mm] + ... +
> [mm]a_{1}s[/mm] + [mm]a_{0}[/mm] = 0 alle [mm]a_{i}[/mm] das gleiche Vorzeichen haben,
> ist das ein Hinweis auf Stabilität (notwendiges aber nicht
> hinreichendes Kriterium). Anders gesagt, haben nicht alle
> das gleiche Vorzeichen, ist das System instabil.
Mir ist das Vorzeichenkriterium nicht bekannt gewesen, aber vielen Dank. Das erleichert so manches.
Ja, das wusste ich schon, dass man für stabil alle Eigenwerte betrachten muss und für instabil ein Eigenwert reicht, der nicht die Bedingung erfüllt.
Trotzdem vielen Dank für deine Hilfe
TheBozz-mismo
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Hallo The Bozz-mismo!
Ich hab mich grade auch mal an die Übungsaufgaben gemacht und hab bei b) was anderes raus als du..
du sagst, dass dein Polynom $ [mm] p(\lambda)=\lambda^3-5\lambda^2-\lambda-4=0 [/mm] $ ist. Ich habe bei meinen Berechnung allerdings raus, dass es
[mm] p(\lambda)=\lambda^3-5\lambda^2-8\lambda-4=0 [/mm] $ ist und somit die Nullstellen bei -2 und -1 liegen, was den Verlauf der Aufgabe ja ein bisschen ändern würde, oder??
Wer hat denn nun recht?
liebe Grüße, die chrischina
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Hallo,
dein charakt. Polynom stimmt.
Aber warum wird immer stupide ausmultipliziert?
Entwicklung nach der 1. Zeile gibt doch sofort die NSTen:
[mm] $(-2-\lambda)\cdot{}(-2-\lambda)\cdot{}(-1-\lambda)=-(\lambda+2)^2\cdot{}(\lambda+1)$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 Do 06.05.2010 | | Autor: | Chrischina |
Hey!
Ich hab eigentlich auch nur ausmultipliziert um meine Ergebnisse zu vergleichen. Hatte mich nämlich etwas gewundert, weil die Rechnung von Bozz so unglaublich umständlich aussah ^^
danke dir für deine Hilfe :)
lg
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Du kannst so vorgehen, für Instabilität reicht es in jedem Fall zu zeigen, dass es mind. 1 Nullstelle in der rechten Hälfte der Gaussschen Zahlenebene gibt.
Beachte den Hinweis in der Frage tiefer, das charakteristische Polynom muss man schon richtig aufstellen..
Gruss Christian
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