Stammfkt. gebr. rat. Fkten < Abivorbereitung < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Sa 31.03.2007 | | Autor: | Vannie |
Hallo,
leider bin ich gerade wieder über etwas gestolpert, was ich nicht verstehe.
Folgende Aufgabe ist gegeben: [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] mit f(x) = [mm] \bruch{2}{(2x + 1)^{3}}
[/mm]
Man soll dieses Integral berechnen.
Zuerst habe ich es umgeschrieben in:
f(x) = 2* [mm] (2x+1)^{-3}
[/mm]
Nun muss man ja die Stammfunktion dieser Fkt. bilden, um das Integral berechnen zu können. Ohne die Lösung vorher anzuschauen habe ich es nach der Kettenregel wie folgt gemacht:
F(x) = [mm] \bruch{2}{-2} [/mm] * [mm] (2x+1)^{-2} [/mm] * [mm] (x^{2} [/mm] + x)
Nun stimmt das aber nur zur Hälfte. Im Buch steht:
F(x) = [mm] \bruch{2}{-2} [/mm] * [mm] (2x+1)^{-2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
Ich habe überhaupt keine Idee, wieso da hinten ein [mm] \bruch{1}{2} [/mm] hinzumultipliziert werden muss. Habe meinen ganzen Matheordner schnell überflogen und auch keine Stammfunktionen für gebr. rationale Funktionen dieser Art gefunden. Man muss für's Abi ja Produkt -, Ketten - und Quotientenregel für die Ableitungen anwenden können. Aber für Aufleitungen doch nicht, oder? Zumindest kann ich mich nicht daran erinnern, das schon einmal gemacht zu haben und ich bin eigentlich nicht schlecht in Mathe und hab auch immer alles mit aufgeschrieben und HA gemacht. Vielleicht stehe ich gerade auch nur extrem auf dem Schlauch... ?
Gibts da eine feste Regel, wie man obige Funktionen aufleitet? Woher kommt dieses [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ?
Vielen Dank schon einmal für eure Antworten ... Liebe Grüße, Vannie
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> Hallo,
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> leider bin ich gerade wieder über etwas gestolpert, was ich
> nicht verstehe.
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> Folgende Aufgabe ist gegeben: [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm]
> mit f(x) = [mm]\bruch{2}{(2x + 1)^{3}}[/mm]
>
> Man soll dieses Integral berechnen.
> Zuerst habe ich es umgeschrieben in:
>
> f(x) = 2* [mm](2x+1)^{-3}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun muss man ja die Stammfunktion dieser Fkt. bilden, um
> das Integral berechnen zu können. Ohne die Lösung vorher
> anzuschauen habe ich es nach der Kettenregel wie folgt
> gemacht:
>
> F(x) = [mm]\bruch{2}{-2}[/mm] * [mm](2x+1)^{-2}[/mm] * [mm](x^{2}[/mm] + x)
>
> Nun stimmt das aber nur zur Hälfte. Im Buch steht:
>
> F(x) = [mm]\bruch{2}{-2}[/mm] * [mm](2x+1)^{-2}[/mm] * [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Ich habe überhaupt keine Idee, wieso da hinten ein
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] hinzumultipliziert werden muss. Habe meinen
> ganzen Matheordner schnell überflogen und auch keine
> Stammfunktionen für gebr. rationale Funktionen dieser Art
> gefunden. Man muss für's Abi ja Produkt -, Ketten - und
> Quotientenregel für die Ableitungen anwenden können. Aber
> für Aufleitungen doch nicht, oder? Zumindest kann ich mich
> nicht daran erinnern, das schon einmal gemacht zu haben und
> ich bin eigentlich nicht schlecht in Mathe und hab auch
> immer alles mit aufgeschrieben und HA gemacht. Vielleicht
> stehe ich gerade auch nur extrem auf dem Schlauch... ?
>
> Gibts da eine feste Regel, wie man obige Funktionen
> aufleitet? Woher kommt dieses [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ?
Das [mm] \frac{1}{2} [/mm] kommt wegen der "inneren Ableitung" (2x+1)'=2.
Diese 2 musst du ja beim Integrieren "ausgleichen"
Es gibt eine Regel für Integrale bei Funktionen der Form [mm] f(x)=x^n [/mm] , die sog. Potenzregel
Die besagt:
[mm] \int{x^ndx}=\frac{1}{n+1}x^{n+1} [/mm] für alle reellen [mm] n\ne [/mm] -1
Für n=-1 hat man [mm] \int{x^{-1}dx}=\int{\frac{1}{x}dx}=ln(x)
[/mm]
Ich würde das Integral bei deiner Funktion etwas umschreiben und dann u:=2x+1 substituieren, dann kommst du auf eine Form, wo obige Regel "greift"
[mm] \int{\frac{2}{(2x+1)^3}dx}=2\cdot{}\int{(2x+1)^{-3}dx}
[/mm]
u(x)=2x+1 [mm] \Rightarrow u'(x)=\frac{du}{dx}=2 \Rightarrow dx=\frac{du}{2}
[/mm]
Damit ist: [mm] 2\cdot{}\int{(2x+1)^{-3}dx}=2\cdot{}\int{u^{-3}\frac{du}{2}}=\int{u^{-3}du}
[/mm]
Das nun berechnen und anschließend rücksubstituieren (u=2x+1)
Dann ganz am Schluß die Grenzen einsetzen und dann haste es
Gruß
schachuzipus
PS: Hallo erstmal 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Sa 31.03.2007 | | Autor: | Vannie |
Hallo schachuzipus ,
erst einmal Danke für dein schnelle Antwort ;).
Das heißt ja dann praktisch, dass man die Kettenregel (und Produkt - und Quotientenregel) beim Aufleiten nicht in der Form anwenden kann, wie man sie beim Ableiten anwendet, oder?
Und im Prinzip muss ich einfach hinten noch ein 1 geteilt durch die "innere Ableitung" machen, sodass es später (beim wieder ableiten) nicht "doppelt gemoppelt" ist, oder habe ich das falsch verstanden?
Wahrscheinlich habe ich mich zu sehr auf die Kettenregel festgelegt...
Viele Grüße
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> Hallo schachuzipus ,
>
> erst einmal Danke für dein schnelle Antwort ;).
>
> Das heißt ja dann praktisch, dass man die Kettenregel (und
> Produkt - und Quotientenregel) beim Aufleiten nicht in der
> Form anwenden kann, wie man sie beim Ableiten anwendet,
> oder?
>
> Und im Prinzip muss ich einfach hinten noch ein 1 geteilt
> durch die "innere Ableitung" machen, sodass es später (beim
> wieder ableiten) nicht "doppelt gemoppelt" ist, oder habe
> ich das falsch verstanden?
Das klappt aber nur, weil wir hier bei der inneren Funktion 2x+1 das x in der 1.Potenz hatten - bei [mm] 2x^2+1 [/mm] klappt das nicht mehr ohne weiteres
> Wahrscheinlich habe ich mich zu sehr auf die Kettenregel
> festgelegt...
>
> Viele Grüße
Hi,
wie oben erwähnt, ist dieses "Hinbasteln" bei weitem nicht immer möglich.
s. o.: Potenz von x in der "inneren Funktion"
Aber bei Integralen der Form [mm] \int{\frac{a}{(bx+c)^n}dx} [/mm] mit [mm] n\ne [/mm] -1 klappt das.
Gruß zurück ![[aetsch]](/images/smileys/aetsch.gif "[aetsch]")
schachuzipus
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