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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:10 Sa 07.01.2006 | | Autor: | wing |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {cosx/(cosx+sinx) dx} |
Hallo an alle!
Ich muss die Stammfunktion zum oben genannten Integral finden, aber ich weiss momentan nicht wie ich da anfangen soll!Ich bin mir bei sin,cos immer sehr unsicher.Könnte mir vielleicht jemand einen Tip geben wie ich solche Aufgaben angehen muss!Ich wäre euch sehr dankbar!!!!
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Hallo.
Vielleicht helfen Dir folgende Überlegungen weiter:
[mm] $\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}=\frac{\cos x-\sin x+\sin x}{\cos x+\sin x}=\frac{\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\left(\sin x+\cos x\right)}{\cos x +\sin x}+\frac{\sin x}{\cos x+\sin x}=\frac{\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\left(\sin x+\cos x\right)}{\cos x +\sin x}+\frac{\sin x+\cos x -\cos x}{\cos x+\sin x}=\frac{\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\left(\sin x+\cos x\right)}{\cos x +\sin x}+1-\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{\cos x}{\cos x+\sin x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\left(\sin x+\cos x\right)}{\cos x +\sin x}+\frac{1}{2}$,
[/mm]
wobei Du Dir an den Nullstellen noch Gedanken um die Existenz des Integrals machen solltest...
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Sa 07.01.2006 | | Autor: | wing |
Vielen Dank für die schnelle Antwort, aber ich kann leider nicht sehr viel damit anfangen!Vielleicht könntest du mir die jeweiligen Schritte noch kurz erläutern.
Es handelt sich hierbei um ein unbestimmtes Integral, da dürfte die Existenz doch kein keine Rolle spielen oder?Vielen Dank schonmal für die Mühe!!!!!
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Hallo.
> Vielen Dank für die schnelle Antwort, aber ich kann leider
> nicht sehr viel damit anfangen!Vielleicht könntest du mir
> die jeweiligen Schritte noch kurz erläutern.
Naja, im Ersten Schritt hab ich [mm] $\sin x-\sin [/mm] x$, also 0 ergänzt.
Dann hab ich den Zähler aufgetrennt, so wie ich aufgetrennt hab, ist der erste Zähler aber die Ableitung des Nenners (klingelts?).
Dann hab ich [mm] $\cos x-\cos [/mm] x$ im 2. Zähler ergänzt, wiederum aufgetrennt in den Teil, der sich mit dem Nenner zu 1 wegkürzt, der andere Teil ist wiederum genau das, was Du suchst, also bringst Dus auf die andere Seite und teilst durch 2. Fertig.
> Es handelt sich hierbei um ein unbestimmtes Integral, da
> dürfte die Existenz doch kein keine Rolle spielen
Du hast aber Grenzen angegeben. Das stimmt so nicht ganz. Aber das siehst Du dann schon.
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Sa 07.01.2006 | | Autor: | wing |
Vielen Dank!Ich kann die Schritte jetzt sehr gut nachvollziehen, nur leider verstehe ich nicht was du damit meinst:
> also bringst Dus auf die andere Seite und teilst
> durch 2. Fertig.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Wing!
Durch die Umformungen von Christian haben wir eine Gleichung, bei welcher das gesuchte Integral auf beiden Seiten vorkommt:
[mm] $\blue{\integral{\bruch{\cos(x)}{\cos(x)+\sin(x)} \ dx}} [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \integral{\frac{\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\left[\sin(x)+\cos(x)\right]}{\cos(x) +\sin(x)}+1 \ dx} [/mm] - [mm] \blue{\integral{\bruch{\cos(x)}{\cos(x)+\sin(x)} \ dx}}$
[/mm]
Nun also diesen "blauen Term" auf die linke Seite bringen ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Sa 07.01.2006 | | Autor: | wing |
Hallo Loddar,
Danke für die Hilfe, aber mir ist immer noch nicht klar warum ich das so machen muss und wie ich dann weiter vorgehe!
Gruß wing
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> Hallo Loddar,
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> Danke für die Hilfe, aber mir ist immer noch nicht klar
> warum ich das so machen muss und wie ich dann weiter
> vorgehe!
> Gruß wing
Hallo.
Ob man das so machen muß sei dahingestellt.
Das ist halt der Weg, der mir eingefallen ist.
Oft muß man beim integrieren halt mit Tricks arbeiten.
Die Stammfunktion von Funktionen des Typs "Ableitung durch Funktion" könnte/sollte hingegen aus der Schule bekannt sein, falls nicht, versuch mal was mit [mm] "$\ln$"... [/mm] 
Gruß,
Christian
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