Stammfunktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:23 Di 30.05.2006 | | Autor: | djmatey |
Hallöchen, ich suche eine Stammfunktion zu der Funktion
f(x) = [mm] \bruch{1}{x*(ln x)^{1+\varepsilon}}
[/mm]
für [mm] \varepsilon [/mm] > 0
bzw. ich muss nachweisen, dass das Integral dieser Funktion bis [mm] \infty [/mm] endlich ist.
Freue mich über Lösungsvorschläge - ich selbst hab's nicht hingekriegt. Ich finde keine Stammfunktion und wüsste nicht, wie man die Endlichkeit sonst zeigen könnte.
Vielen Dank im Voraus und schöne Grüße,
Matthias.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:43 Di 30.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Matthias!
Für die Stammfunktion solltest Du folgendermaßen substituieren: $z \ := \ [mm] \ln(x)$ [/mm] , anschließend umformen zu [mm] $\bruch{1}{z^{1+\varepsilon}} [/mm] \ = \ [mm] z^{-1-\varepsilon}$ [/mm] . Denn nun kannst Du mittels  Potenzregel integrieren.
Für den Wertes des Integrales setze Dir zunächste eine Variable $K_$ als obere Grenze ein und führe anschließend die Grenzwertbetrachtung $K [mm] \rightarrow\infty$ [/mm] durch.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Di 30.05.2006 | | Autor: | djmatey |
Hi Loddar,
danke für die schnelle Antwort. Leider kriege ich es immer noch nicht hin... Mit Substitution habe ich's schon probiert, aber Ärger bereitet mir immer, dass da ja noch ein x im Nenner steht. Die Substitution sieht bei mir dann so aus:
z=ln(x)
[mm] z'=\bruch{1}{x}=\bruch{dz}{dx} \gdw [/mm] dx = xdz = [mm] e^z [/mm] dz
Dadurch erhalte ich
[mm] \integral^{\infty}{\bruch{1}{x*(lnx)^{1+\varepsilon}} dx}
[/mm]
= [mm] \integral^{\infty}{z' * z^{-(1+\varepsilon)} * e^z dz},
[/mm]
und da komme ich nicht weiter :-(
Hast Du evtl noch eine Idee...?
LG Matthias.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Di 30.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Matthias!
Da hast Du beim Umformen bereits etwas zuviel gemacht. Setze doch einfach $dx \ = \ x*dz$ in das Integral ein, und Du erhältst:
[mm]\integral^{\infty}{\bruch{1}{x*\left[\ln(x)\right]^{1+\varepsilon}} \ dx} \ = \ \integral^{\infty}{\bruch{1}{x*z^{1+\varepsilon}} \ x*dz} \ = \ \integral^{\infty}{\bruch{1}{z^{1+\varepsilon}} \ dz} \ = \ \integral^{\infty}{z^{-1-\varepsilon} \ dz} \ = \ ...[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:07 Mi 31.05.2006 | | Autor: | djmatey |
Ach jaaaaa,
au mann, da hab' ich echt den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen...
Vielen Dank für die Hilfe!
LG Matthias.
|
|
|
|
