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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:24 Fr 22.06.2007 | | Autor: | kiriS |
| Aufgabe | | Bilde die Stammfunktion: [mm] f(x)=\bruch{1}{\wurzel{x}}*e^{-\wurzel{x}} [/mm] |
Hallo Zusammen,
ich bin das erste mal hier und bräuchte dringend eure Hilfe.
Könnte mir bitte jemand bei der Bildung der Stammfunktion helfen. Ich komm da leider nicht weiter.
Vielen lieben Dank.
Gruß, Kira
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo kiriS,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Du kommst hier mit folgender Substitution zum Ziel: $z \ := \ [mm] -\wurzel{x}$ [/mm] .
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $z' \ = \ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{2*\wurzel{x}}$ $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ [mm] -2*\wurzel{x}*dz$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:54 Fr 22.06.2007 | | Autor: | kiriS |
Hallo,
irgendwie versteh ich es nicht.
Ich dachte man darf substituieren, wenn die Ableitung von [mm] -\wurzel{x} [/mm] in der gegebenen Funktion vorhanden ist. Die Ableitung von [mm] -\wurzel{x} [/mm] ist doch [mm] -\bruch{1}{2 \wurzel{x}}, [/mm] aber in der gegebenen Funktion steht doch nur [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}}. [/mm] Hab ich da vielleicht was falsch verstanden? Könntest du bitte deine Schritte näher erläutern? Danke
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Hallo kiri!
Ich kann hier doch einen konstanten Faktor vor das Integral ziehen bzw. hineinmultiplizieren:
[mm] $\integral{\bruch{1}{\wurzel{x}}*e^{-\wurzel{x}} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\blue{\bruch{-2}{-2}}*\bruch{1}{\wurzel{x}}*e^{-\wurzel{x}} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \blue{-2}*\integral{\blue{-\bruch{1}{2}}*\bruch{1}{\wurzel{x}}*e^{-\wurzel{x}} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] -2*\integral{-\bruch{1}{2\wurzel{x}}*e^{-\wurzel{x}} \ dx}$
[/mm]
Und nun kannst Du wie gewohnt fortfahren ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Fr 22.06.2007 | | Autor: | kiriS |
Hallo,
ich hab mal mit deinen sehr hilfreichen Hinweisen gerechnet.
Könnte sich bitte jemand meinen Lösungsweg anschauen? Weiß nicht so recht, ob ich da richtig vorgegangen bin.
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x}}\cdot{}e^{-\wurzel{x}}dx}
[/mm]
[mm] \phi(x)= \wurzel{x}
[/mm]
[mm] \phi'(x)= \bruch{1}{2\wurzel{x}}
[/mm]
f(z)= [mm] e^{-z}
[/mm]
Da die Grenzen kritisch sind, betrachte ich zunächst die Funktion auf (0,1]:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} 2*\integral_{\wurzel{x}}^{1}{e^{-z}dz}= \limes_{x\rightarrow 0} (-2e^{-1})-(-2e^{-\wurzel{x}})
[/mm]
= [mm] -\bruch{2}{e} [/mm] + 2
Betrachte dann die Funktion auf [mm] [1,\infty)
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} 2*\integral_{{1}}^{\wurzel{x}}{e^{-z}dz}= \bruch{2}{e}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x}}\cdot{}e^{-\wurzel{x}}dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{x}}\cdot{}e^{-\wurzel{x}}dx} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x}}\cdot{}e^{-\wurzel{x}}dx} [/mm] = - [mm] \bruch{2}{e} [/mm] + 2 + [mm] \bruch{2}{e} [/mm] = 2
Bin ich da richtig vorgegangen??
Danke für eure Hilfe.
Gruß, Kira
Was ich noch fragen wollte: Woran erkenne ich, dass ich substituieren oder partiell integrieren muss? Gibt es da bestimmte "Anzeichen"?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Fr 22.06.2007 | | Autor: | kiriS |
Hallo,
wie würde es aussehen, wenn man das Cauchy-Kriterium auf das gegebene Integral anwenden würde?? Ich kann mir das irgendwie nicht vorstellen.
Danke im Voraus.
Gruß, Kira
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 Sa 23.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich weiss nicht, was du unter cauchykriterium für ein Integral verstehst. Ick kenne das Cauchykr. nur für Summen.
Noch ein hinweis, wann man oft substituiert, es aber auch vermeiden kann, wenn man das ergebnis direkt sieht:
[mm] 1.(e^{f(x)})'=f'*e^f [/mm] daraus direkt Stammfkt von [mm] a*f'*e^f
[/mm]
2. (ln(f))'=f'/f daraus direkt Stammfkt von a*f'/f
3. [mm] (f^2)'=2ff' [/mm] daraus direkt Stammfkt von a*ff'
das sind die am häufigsten vorkommenden, die man lernen sollte schnel zu erkennen
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:57 Sa 23.06.2007 | | Autor: | kiriS |
Hallo,
es gibt folgendes Kriterium für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals:
Notwendig und hinreichen für die Konvergenz des uneigentlichen Integrals [mm] \integral_{a}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] ist die Bedingung:
Zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 existiert ein [mm] u_{0} [/mm] derart, dass für alle [mm] u_{1}, u_{2} \ge u_{0} [/mm] gilt:
[mm] |\integral_{u_{1}}^{u_{2}}{f(x) dx}| [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
Ich weiß aber nicht, wie man es auf das angegebene Beispiel anwendet. Könnte mir da vielleicht bitte jemand weiter helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Mo 25.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hiho,
deine Vorgehensweise ist ok, bis auf eine Kleinigkeit:
Wie kommst du drauf, als Grenze sowas wie [mm] \sqrt{x} [/mm] stehen zu lassen? Letztendlich machts in diesem Fall nix aus, aber die Grenzen des Integrals NACH der Substiution haben nur bedingt was mit der Funktion zu tun, die du wegsubstituierst.
Die Grenzen werden zwar dadurch festgelegt, aber sie sind eigentlich feste Werte, insofern würde ich da kein x reinschreiben, sondern irgendeinen anderen Laufindex nehmen (a,b oder sonstwas). Das verhindert Unstimmigkeiten.
Noch zu deiner Frage: Naja, das "geübte" Auge sieht, ob man partiell Integrieren oder Substiuieren muss, meist erkennt mans an gewissen Umständen:
1.) Eine Funktion fällt nach n-maligem partiellen Integrieren weg (z.b. [mm] x^ne^x) [/mm] => partiell
2.) Eine Funktion kommt irgendwann "wieder" (z.B. [mm] sin(x)e^x, [/mm] da landest du nach zweimaliger Partieller Integration wieder bei [mm] sin(x)e^x) [/mm] => partiell
3.) Wenn durchs Substituieren eines komplizierten Terms eine bekannte Funktion stehen bleibt. Im Optimalen Fall steht natürlich die Ableitung der Substiuierten Funktion mit im Integral, so dass sie sich rauskürzt (muss aber nicht immer der Fall sein).
MfG,
Gono.
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