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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Fr 23.01.2009 | | Autor: | claudi7 |
Ich soll von folgened Funktion die Stammfunktion bilden:
[mm] f(x)=x^3*e^x
[/mm]
Ich weiß nicht so Recht wie ich da vorgehen soll. Die Produktregel gilt ja nur für Ableitungen.
Jemand in meiner Klasse behauptet nun dass man folgende Regel anwenden kann:
F(x)= u(x)*v'(x) - u'(x)*V(x) stimmt das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo claudi!
> Jemand in meiner Klasse behauptet nun dass man folgende
> Regel anwenden kann:
>
> F(x)= u(x)*v'(x) - u'(x)*V(x) stimmt das?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nicht ganz ... die Formel muss lauten:
[mm] $$\integral{u'*v \ dx} [/mm] \ = \ [mm] u*v-\integral{u*v' \ dx}$$
[/mm]
Dieses Verfahren nennt man partielle Integration und müsste bei Deiner Aufgabe insgesamt 3-mal angewandt werden.
Alternativ kannst Du auch sagen, dass die gesuchte Stammfunktion die Form $F(x) \ = \ [mm] \left(A*x^3+B*x^2+C*x+D\right)*e^x$ [/mm] hat.
Leite diese Fnktion ab und führe einen Koeffizientenvergleich mit $f(x) \ = \ [mm] x3*e^x [/mm] \ = \ [mm] \left(1*x^3+0*x^2+0*x+0\right)*e^x$ [/mm] durch.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Fr 23.01.2009 | | Autor: | claudi7 |
> Hallo claudi!
>
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> > Jemand in meiner Klasse behauptet nun dass man folgende
> > Regel anwenden kann:
> >
> > F(x)= u(x)*v'(x) - u'(x)*V(x) stimmt das?
>
> Nicht ganz ... die Formel muss lauten:
> [mm]\integral{u'*v \ dx} \ = \ u*v-\integral{u*v' \ dx}[/mm]
>
> Dieses Verfahren nennt man partielle Integration und müsste
> bei Deiner Aufgabe insgesamt 3-mal angewandt werden.
>
>
> Alternativ kannst Du auch sagen, dass die gesuchte
> Stammfunktion die Form [mm]F(x) \ = \ \left(A*x^3+B*x^2+C*x+D\right)*e^x[/mm]
> hat.
> Leite diese Fnktion ab und führe einen
> Koeffizientenvergleich mit [mm]f(x) \ = \ x3*e^x \ = \ \left(1*x^3+0*x^2+0*x+0\right)*e^x[/mm]
> durch.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
ableiten:
[mm] f'(x)=x*e^x*(2+x) [/mm] richtig?
Was meinst du mit Koeffizientenvergleich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Fr 23.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Leite mal
[mm] F(x)=\left(A\cdot{}x^3+B\cdot{}x^2+C\cdot{}x+D\right)e^{x}
[/mm]
ab.
Also:
[mm] F'(x)=\left(A\cdot{}x^3+B\cdot{}x^2+C\cdot{}x+D\right)e^{x}+\left(3Ax²+2Bx+C\right)e^{x}
[/mm]
[mm] =\left(Ax³+(B+3A)x²+(C+2B)x+(D+C)\right)e^{x}
[/mm]
Und jetzt bestimme mal die Koeffizienten A, B, C und D so, dass:
F'(x)=f(x), also:
[mm] \left(Ax³+(B+3A)x²+(C+2B)x+(D+C)\right)e^{x}=(1x³+0x²+0x+0)e^{x}
[/mm]
Also: A=1, B+3A=0 C+2B=0, D+C=0
Marius
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Liebe Claudi!
Das macht man mit partieller Integration,
also der ''Umkehrung der Produktregel":
[mm] \int_a^b [/mm] u * v' dx = [mm] [u*v]^_a^b [/mm] - [mm] \int_a^b [/mm] u' * v dx.
Zunaechst setzt man u = [mm] x^3 [/mm] un d v = [mm] e^x
[/mm]
Dann ist u' [mm] 3*x^2 [/mm] und v ' = [mm] e^x
[/mm]
Eingesetzt in obige Regel gibt dies:
[mm] \int_0^x r^3 [/mm] * [mm] e^r [/mm] dr = [mm] [r^3 [/mm] * [mm] e^r]^_0^x [/mm] - 3* [mm] \int_0^x r^2 e^r [/mm] dr.
So jetzt dasselbe Spielchen nochmal für das letzte
Integral mit u = [mm] r^2 [/mm] und v' = [mm] e^r [/mm] . Und das Ganze nochmal.
Nach dreimal partiellem Integrieren mußt Du nur
noch [mm] e^r [/mm] integrieren.
FReundlicher Gruß
Schlunzbuns
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