Stammfunktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Do 21.01.2010 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
Ich frag mich, ob die Funktion f mit [mm] f(x)=e^{x^2 } [/mm] eine Stammfunktion besitzt. Also meines Erachtens ist f doch in allen Punkten stetig und von daher müsste es ja eine Stammfunktion geben nach Hauptsatz der Integralrechnung, aber beim Versuch diese Funktion zu integrieren scheiter sowohl ich kläglich als auch Derive.
Von daher meine Frage: existiert nun eine Stammfunktion, wenn ja wie muss ich vorgehen und wenn nicht, wieso nicht?
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe im voraus.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Do 21.01.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
zu deinem Integral gibt es keine Stammfunktion, die man geschlossen hinschreiben kann. Um aber trotzdem so zu tun, als ob es eine Stammfunktion gaebe, die man hinschreiben kann, nennt man [mm] $\int \exp(x^2) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}\sqrt{\pi}\,\mathrm{erfi}(x)$ [/mm] wobei die [mm] $\mathrm{erfi}(x)$ [/mm] die sog. imaginaere Error-Function ist. Analog kann man fuer [mm] $\int \exp(-x^2)$ [/mm] die [mm] $\mathrm{erf}(x)$ [/mm] als Stammfunktion moudlo Vorfaktoren hinschreiben. Es gibt aber keinen geschlossenen Ausdruck, den man "kennt"
Eigentlich ists ja zB mit dem [mm] $\sin(x)$ [/mm] auch nicht anders. Das ist ja auch nur eine kurzschreibweise fuer die unendliche Reihe des Sinus, denn wenn man zB [mm] $\sin(3)$ [/mm] ausrechnen will, gehts ja so ohne weiteres auch nicht, genau so ists dann mit der [mm] $\mathrm{erf}(x)$. [/mm] Wenn man da nen Wert ausrechnen will, muss man halt auch ein Tafelwerk oder ein CAS fragen.
Ich hoffe, ich konnte dir ein wenig helfen.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Do 21.01.2010 | | Autor: | ms2008de |
Vielen Dank nochmals, aber eine Frage hätte ich noch:
> Hi,
>
> zu deinem Integral gibt es keine Stammfunktion, die man
> geschlossen hinschreiben kann. Um aber trotzdem so zu tun,
> als ob es eine Stammfunktion gaebe, die man hinschreiben
> kann, nennt man [mm]\int \exp(x^2) = \frac{1}{2}\sqrt{\pi}\,\mathrm{erfi}(x)[/mm]
> wobei die [mm]\mathrm{erfi}(x)[/mm] die sog. imaginaere
> Error-Function ist. Analog kann man fuer [mm]\int \exp(-x^2)[/mm]
> die [mm]\mathrm{erf}(x)[/mm] als Stammfunktion moudlo Vorfaktoren
> hinschreiben. Es gibt aber keinen geschlossenen Ausdruck,
> den man "kennt"
Am Anfang sagst du ganz sicher, es gibt keinen geschlossenen Ausdruck , aber am Ende noch mit dem Zusatz "den man "kennt"". Heißt das nun es wurde bewiesen, dass es diesen geschlossenen Ausdruck nicht gibt? Falls ja, würde mich der Beweis durchaus intressieren...
Oder hat man einfach gesagt, da bisher in all den Jahren kein Mensch "so schlau war", dazu den geschlossenen Ausdruck zu finden, definieren wir das ganze einfach mal so ?
Viele Grüße
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Hiho,
> Am Anfang sagst du ganz sicher, es gibt keinen
> geschlossenen Ausdruck , aber am Ende noch mit dem Zusatz
> "den man "kennt"". Heißt das nun es wurde bewiesen, dass
> es diesen geschlossenen Ausdruck nicht gibt?
Moment, moment 
Die Funktion über das Integral zu definieren, ist sehr wohl ein geschlossener Ausdruck.
Was du allerdings meinst ist eine Darstellung mit Hilfe von ![[]](/images/popup.gif) elementarer Funktionen
Wie schon im verlinkten Artikel erwähnt, ist die Einordnung in den Bereich "elementar" recht willkürlich (wenn auch nicht unbegründet ).
Einen Beweis, dass sich die Stammfunktion von [mm] $e^{x^2}$ [/mm] bzw [mm] $e^{-x^2} [/mm] nicht als Zusammensetzung elementarer Funktionen schreiben lässt, gibt es wirklich und zwar von Joseph Liouville. Einen Link dazu hab ich gerade allerdings nicht zur Hand, den kannst du dir selbst suchen 
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Do 21.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Ist I ein Intervall in [mm] \IR [/mm] und f:I [mm] \to \IR [/mm] stetig, so wähle ein a [mm] \in [/mm] I (fest) und setze
$F(x) = [mm] \integral_{a}^{x}{f(t) dt}$ [/mm] für x [mm] \in [/mm] I
Dann ist F eine Stammfunktion von f auf I
Den Rest hat Kroni ja schon gesagt
FRED
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