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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:29 Sa 25.09.2010 | | Autor: | Docci |
| Aufgabe | | Gesucht ist die Stammfunktion von [mm] \int{\bruch{sin x}{1+cos^{2} x}}dx [/mm] |
Ich habe bereits ein paar Ansätze ausprobiert, bin allerdings nicht weiter gekommen. Vielleicht kann mir jemand einen Tip geben, wie ich ein solches Integral angehen muss.
MfG
Doc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:34 Sa 25.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Gesucht ist die Stammfunktion von [mm]\int{\bruch{sin x}{1+cos^{2} x}}dx[/mm]
>
> Ich habe bereits ein paar Ansätze ausprobiert, bin
> allerdings nicht weiter gekommen. Vielleicht kann mir
> jemand einen Tip geben, wie ich ein solches Integral
> angehen muss.
Substituiere mal cos(x)=z.
Gruß Abakus
>
> MfG
> Doc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:25 Sa 25.09.2010 | | Autor: | Docci |
Danke, der rest war nicht weiter schwer.
[mm] \int\bruch{sin x}{1+cos^{2} x}
[/mm]
wähle
z = cos x
dz=-sin x dx
[mm] dx=-\bruch{dz}{sin x}
[/mm]
daraus folgt
[mm] \int-\bruch{1}{1+z^{2}}=-arctan(z) [/mm] + c
durch resubstituieren erhalte ich das Ergebnis
-arctan(cos x)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:50 Sa 25.09.2010 | | Autor: | perl |
Bemerkung Marcel: Editiert (Oberflächliche Korrektur der Formeleingaben)!
hei :)
also so wie ich es verstehe willst du einen allgemeinen tipp, oder?
integrale lassen sich durch
-substitution
und durch
- partielle integration
knacken.
Die Substitution wirst du schnell verstanden haben und bei partieller Integration kurz das Vorgehen:
[mm] $\integral_{a}^{b}{f(x)g'(x) dx}$ [/mm] so sieht deine Fkt. am Anfang aus.
das heißt du hast zweimal x bei einem ausdruck stehen zb. [mm] $\integral_{a}^{b}{9^{x}ln(x) dx}$
[/mm]
du nimmst also als $f(x) := ln(x)$ an und [mm] 9x^{2}siehst [/mm] du als eine Ableitung g´{x}.
[mm] $\integral_{a}^{b}{f(x)g'(x) dx} [/mm] = [mm] f(x)g(x)|^{b}_a -\integral_{a}^{b}{f'(x)g(x) dx}$
[/mm]
(b ist hier: [mm] f(x)g(x)|^{b}(a) [/mm] die untere grenze... weiß nich wie mans eingibt^^)
du kannst also schonmal f(x) und das g'(x) aufgeleitet wird rausziehn und es wird das integral in dem f(x) nun abgeleitet wird und g(x) aufgeleitet bleibt abgezogen.
ziel ist es nur noch einen ausdruck mit x im integral zu haben und es dann lösen zu können. bei dem genannten beispiel würde es folgender maßen aussehen:
[mm] \integral{9x^{2}ln(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{9}{3}ln(x)- \integral{3x^{3}x^{-1}dx}=... [/mm] +C
das +C darf bei dem unbestimmten Integral natürlich nicht fehlen :)
ich hoff das hat dir weiter geholfen!
(Tip: schau auch mal in das Kapitel "Integration von Partialbrüchen" :D)
liebe grüße perl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:16 Sa 25.09.2010 | | Autor: | fred97 |
Hallo perl,
das hast Du oben geschrieben:
$ [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)g´(x) dx} [/mm] $ = $ [mm] f(x)g(x)|^{b}(a) -\integral_{a}^{b}{f´(x)g(x) dx} [/mm] $
Das ist aber grottenfalsch. Korrigier es bitte
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:24 Sa 25.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Hallo perl,
> das hast Du oben geschrieben:
>
>
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x)g´(x) dx}[/mm] = [mm]f(x)g(x)|^{b}(a) -\integral_{a}^{b}{f´(x)g(x) dx}[/mm]
>
> Das ist aber grottenfalsch. Korrigier es bitte
es war weniger falsch, als vielmehr nicht richtig lesbar wegen unlesbarer Formeleingabe. Man kann dafür auf den Quelltext oder die Formel selber klicken, wenn man nicht sicher ist, ob der Autor etwas mathematisch falsches schreibt, oder es einfach nicht lesbar angezeigt wird.
Angemerkt sei dabei aber durchaus, dass der Autor die Vorschaufunktion benutzen und seinen eigenen Text nochmal korrekturlesen sollte - denn eben dafür gibt es ja diese Funktion.
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Sa 25.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Hallo perl,
> > das hast Du oben geschrieben:
> >
> >
> >
> > [mm]\integral_{a}^{b}{f(x)g´(x) dx}[/mm] = [mm]f(x)g(x)|^{b}(a) -\integral_{a}^{b}{f´(x)g(x) dx}[/mm]
>
> >
> > Das ist aber grottenfalsch. Korrigier es bitte
>
> es war weniger falsch, als vielmehr nicht richtig lesbar
> wegen unlesbarer Formeleingabe. Man kann dafür auf den
> Quelltext oder die Formel selber klicken, wenn man nicht
> sicher ist, ob der Autor etwas mathematisch falsches
> schreibt, oder es einfach nicht lesbar angezeigt wird.
>
> Angemerkt sei dabei aber durchaus, dass der Autor die
> Vorschaufunktion benutzen und seinen eigenen Text nochmal
> korrekturlesen sollte - denn eben dafür gibt es ja diese
> Funktion.
>
> Beste Grüße,
> Marcel
>
Hallo Marcel,
danke für den Hinweis. Ich habe mir den Quelltext angeschaut, dort sind tatsächlich Ableitungstriche !
Ich habs korrigiert:
[mm]\integral_{a}^{b}{f(x)g'(x) dx}[/mm] = [mm]f(x)g(x)|_a^b -\integral_{a}^{b}{f'(x)g(x) dx}[/mm]
Gruß FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Sa 25.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bemerkung Marcel: Editiert (Oberflächliche Korrektur der
> Formeleingaben)!
>
> hei :)
> also so wie ich es verstehe willst du einen allgemeinen
> tipp, oder?
>
> integrale lassen sich durch
> -substitution
> und durch
> - partielle integration
> knacken.
>
> Die Substitution wirst du schnell verstanden haben und bei
> partieller Integration kurz das Vorgehen:
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x)g'(x) dx}[/mm] so sieht deine Fkt. am
> Anfang aus.
> das heißt du hast zweimal x bei einem ausdruck stehen zb.
> [mm]\integral_{a}^{b}{9^{x}ln(x) dx}[/mm]
> du nimmst also als [mm]f(x) := ln(x)[/mm]
> an und [mm]9x^{2}siehst[/mm] du als eine Ableitung g´{x}.
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x)g'(x) dx} = f(x)g(x)|^{b}_a -\integral_{a}^{b}{f'(x)g(x) dx}[/mm]
>
> (b ist hier: [mm]f(x)g(x)|^{b}(a)[/mm] die untere grenze... weiß
> nich wie mans eingibt^^)
>
> du kannst also schonmal f(x) und das g'(x) aufgeleitet wird
> rausziehn und es wird das integral in dem f(x) nun
> abgeleitet wird und g(x) aufgeleitet bleibt abgezogen.
> ziel ist es nur noch einen ausdruck mit x im integral zu
> haben und es dann lösen zu können. bei dem genannten
> beispiel würde es folgender maßen aussehen:
> [mm]\integral{9x^{2}ln(x) dx}[/mm] = [mm]\bruch{9}{3}ln(x)- \integral{3x^{3}x^{-1}dx}=...[/mm]
> +C
> das +C darf bei dem unbestimmten Integral natürlich nicht
> fehlen :)
>
> ich hoff das hat dir weiter geholfen!
> (Tip: schau auch mal in das Kapitel "Integration von
> Partialbrüchen" :D)
benutze bitte jeweils ein Dollarzeichen um eine Formel oder aber schreibe sie z.B. so:
[mm] [nomm]$\int [/mm] ...$[/nomm]
(Anzeige [mm] $\int [/mm] ...$.)
Siehe auch hier.
P.S.:
Bitte auch die Vorschaufunktion benutzen!
Beste Grüße,
Marcel
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