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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Do 13.09.2007 | | Autor: | bende20 |
| Aufgabe | Zeige, dass F und G Stammfunktionen der gleichen Funktion sind.
F(x)= [mm] \wurzel{x+1}
[/mm]
G(x)= [mm] \bruch{x}{1+\wurzel{x+1}}
[/mm]
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F´(x) ergibt bei mir [mm] \bruch{1}{2\wurzel{x+1}}
[/mm]
Bei G´(x) muss ich die Quotientenregel hernehmen.. doch ich komm nicht auf dasselbe Ergbenis wie bei F´(x)
Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte!
LG
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> Zeige, dass F und G Stammfunktionen der gleichen Funktion
> sind.
>
> [mm] $F\left(x\right)=\wurzel{x+1}$
[/mm]
> [mm] $G\left(x\right)=\bruch{x}{1+\wurzel{x+1}}$
[/mm]
> [mm] $F'\left(x\right)$ [/mm] ergibt bei mir [mm] $\bruch{1}{2\wurzel{x+1}}$
[/mm]
>
Hi,
das ist korrekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Bei [mm] $G'\left(x\right)$ [/mm] muss ich die Quotientenregel hernehmen.. doch ich
> komm nicht auf dasselbe Ergbenis wie bei [mm] $F'\left(x\right)$
[/mm]
>
> Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte!
>
> LG
Jetzt musst du uns deine Rechnung für [mm] $G'\left(x\right)$ [/mm] präsentieren. Wie lautet denn deinem Verständnis nach die Quotientenregel?
Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Do 13.09.2007 | | Autor: | bende20 |
So! Die Quotientenregel lautet ja:
[mm] \bruch{N*AZ - Z*AN}{N^2}
[/mm]
Bei dieser Aufgabe bin ich bis hierher gekommen:
[mm] \bruch{1+\wurzel{x+1}*1-x*(0+\bruch{1}{2\wurzel{x+1}}}{1+x+1}
[/mm]
Ist das korrekt?
Wie muss ich jetzt weiterrechnen?
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Hallo bende,
Im Zähler ist's richtig, obwohl schlimm aufgeschrieben, es fehlen wichtige Klammern. Schaue dir vor dem Absenden dein Geschreibsel doch immer kurz per Vorschau an...
Aber das Quadrat im Nenner ist falsch:
[mm] $(1+\sqrt{x+1})^2\ne (1^2+\sqrt{x+1}^2)$
[/mm]
Das ist ne binom. Formel !!!
Ich schreib den ersten Schritt mal sauber auf und du formst weiter um,
bis du [mm] \frac{1}{2\sqrt{x+1}} [/mm] dastehen hast, ok?
Also [mm] $G'(x)=\frac{1\cdot{}(1+\sqrt{x+1})-x\cdot{}\frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{\left(1+\sqrt{x+1}\right)^2}=\frac{1+\sqrt{x+1}-\frac{x}{2\sqrt{x+1}}}{\left(1+\sqrt{x+1}\right)^2}$
[/mm]
Nun weiter umformen, die Brüche im Zähler gleichnamig machen....
LG
schachuzipus
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> Zeige, dass F und G Stammfunktionen der gleichen Funktion
> sind.
>
> F(x)= [mm]\wurzel{x+1}[/mm]
> G(x)= [mm]\bruch{x}{1+\wurzel{x+1}}[/mm]
>
> F´(x) ergibt bei mir [mm]\bruch{1}{2\wurzel{x+1}}[/mm]
>
> Bei G´(x) muss ich die Quotientenregel hernehmen..
Statt gleich mit Ableitungsregeln loszulegen, könntest Du auch versuchen, zuerst einmal $G(x)$, durch Erweitern mit [mm] $\sqrt{x+1}-1$ [/mm] und Anwenden der "dritten binomischen Formel", auf eine einfachere Form zu bringen:
[mm]G(x)=\frac{x}{\sqrt{x+1}+1}=\frac{x\cdot(\sqrt{x+1}-1)}{(\sqrt{x+1}+1)\cdot(\sqrt{x+1}-1)}=\frac{x\cdot(\sqrt{x+1}-1)}{(x+1)-1}=\sqrt{x+1}-1[/mm]
Hier braucht man nicht einmal mehr abzuleiten: da sich die beiden Funktionen $F(x)$ und $G(x)$ offenbar nur um die Konstante $-1$ unterscheiden, haben sie dieselbe Ableitung.
> doch ich komm nicht auf dasselbe Ergbenis wie bei F´(x)
Es ist natürlich gut möglich, dass die durch unmittelbare Anwendung der Quotienten- und Kettenregel gewonnene Ableitung $G'(x)$ noch einiges an Umformungsarbeit erfordert, um sie als zu $F'(x)$ identisch nachweisen zu können...
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