Stammfunktion Exponentialfunkt < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Fr 20.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
| Aufgabe | | Stammfunktion von f(x) = (1 [mm] -2*x^2) [/mm] *e^(- [mm] x^2) [/mm] |
Hallo
Ich habe das Problem das ich keine ahnung habe wie ich exponentialfkts mit der form oben aufleiten soll . Hab mich ein wenig eingelesen und gesehn das man das mit linearer Substitution und partieller iIntegration machen soll. Lineare Substitution alleine wäre kein problem. Die sache mit der partiellen integration hab ich nich wirklich verstanden ( in der formel sind integralzeichen usw und ich will ja nich inegrieren sondern nur die stammfkt). Kann mir die aufgabe von oben vll jemand mal (ausführlich :)) vorrechnen, damit ich mal hinter das schema komme. Wäre lieb
LG Susi
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> Stammfunktion von f(x) = (1 [mm]-2*x^2)[/mm] *e^(- [mm]x^2)[/mm]
> Hallo
> Ich habe das Problem das ich keine ahnung habe wie ich
> exponentialfkts mit der form oben aufleiten soll . Hab mich
> ein wenig eingelesen und gesehn das man das mit linearer
> Substitution und partieller iIntegration machen soll.
> Lineare Substitution alleine wäre kein problem. Die sache
> mit der partiellen integration hab ich nich wirklich
> verstanden ( in der formel sind integralzeichen usw und ich
> will ja nich inegrieren sondern nur die stammfkt). Kann mir
> die aufgabe von oben vll jemand mal (ausführlich :))
> vorrechnen, damit ich mal hinter das schema komme. Wäre
> lieb
>
>
> LG Susi
Hallo Susi!
also mal prinzipiell zur partiellen Integration.
die Formel schaut so aus
[mm] \integral{u*v' dx} [/mm] = u*v - [mm] \integral{u'*v}
[/mm]
dh.: du wählst einen teil deiner Funktion als u und einen als v'
zB.:
u=(1 [mm] -2*x^{2})
[/mm]
[mm] v'=e^{-x^{2}}
[/mm]
dann folgt das [mm] v=\integral{e^{-x^{2}}}=\bruch{-e^{-x^{2}}}{2x}
[/mm]
und [mm] u'=\bruch{u}{dx}= [/mm] -4*x
nun in die Formel eingesetzt :
[mm] (1-2*x^{2})*\bruch{e^{-x^{2}}}{2x}-\integral{-4*x*e^{-x^{2}}}
[/mm]
nun kann man das -4 vom integral herausheben
[mm] (1-2*x^{2})*\bruch{e^{-x^{2}}}{2x}+4*\integral{x*e^{-x^{2}}}
[/mm]
nun ist es aber wieder so, das man das [mm] \integral{x*e^{-x^{2}}} [/mm] nochmal mit partieller Integration lösen muss also nochmal u und v' wählen
in diesem Fall
u=x
[mm] v'=e^{-x^{2}}
[/mm]
[mm] (1-2*x^{2})*\bruch{e^{-x^{2}}}{2x}+4*(x*\bruch{-e^{-x^{2}}}{2x}-\integral{1*e^{-x^{2}}})
[/mm]
Nun kann man das letzte Integral lösen
[mm] (1-2*x^{2})*\bruch{e^{-x^{2}}}{2x}+4*(x*\bruch{-e^{-x^{2}}}{2x}+\bruch{-e^{-x^{2}}}{2x})
[/mm]
nun das ganze ausmultiplizieren und fertig.
PS: bitte nicht bös sein wenn ich nen Fehler gemacht hab, is meine 1 Antwort auf nen Beitrag. Aber ich denk mal es sollte so passen.
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Fr 20.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
Hallo
Danke für die antwort. Soll dann die letzte zeile die stammfkt sein?
lg sUSI
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> Hallo
> Danke für die antwort. Soll dann die letzte zeile die
> stammfkt sein?
> lg sUSI
Ja natürlich, hab ich vergessen dazuzuschreiben. Wie gesagt du kannst dann noch versuchen das ganze auszumultiplizieren und schaun ob noch etwas wegfällt. aber prinzipiell ist sie das.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Fr 20.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
Oki. Was ich nicht verstanden habe warum kann man die vier herausheben? Und warum sind in der formel überhaupt integralzeichen ?
LG Sui
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Also gleich mal vorweg... ich hab denk ich nen dummen fehler gemacht, also die Lösung wird nicht passen...
zu Deiner Frage, das Integral kommt vor, da die Formel einfach so definiert ist.
[mm] \integral{u*v'}= [/mm] u * v - [mm] \integral{u'*v}
[/mm]
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 20:10 Fr 20.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo devil!
Leider funktioniert das mit dem Integral [mm] $\integral{e^{-x^2} \ dx}$ [/mm] bei weitem nicht so leicht.
Leite mal Deine vermeintliche Stammfunktion [mm] $-\bruch{e^{-x^2}}{2x}$ [/mm] wieder ab. Da kommt eben nicht wieder [mm] $e^{-x^2}$ [/mm] heraus.
Die Funktion [mm] $e^{-x^2}$ [/mm] ist nämlich nicht geschlossen integrierbar.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:12 Fr 20.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Susi!
Ist deine genannte Aufgabenstellung korrekt so wiedergegeben?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:14 Fr 20.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
Ja ist sie > is ne aufgabe aus meinem buch. Aber wenn die so kompliziert ist nehmen wir ne andere. Mir gehts darum das schema zu verstehn.
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Hallo Loddar!
Bin ich leider auch schon draufgekommen, du warst nur schneller mim posten
GROßES SORRY! :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Fr 20.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
Trotzdem danke für deinen versuch :)
LG Susi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Fr 20.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
| Aufgabe | | Stammfkt von f(x) = ( -1/2*x +1) * [mm] e^{-1/4*x^2 + x} [/mm] |
Hallo
Villeicht is es hier ja einfacher.
LG Susi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 Fr 20.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Susi!
Ja, hier geht das doch gleich viel einfacher. Denn wir haben hier eine verkettete Funktion und die Ableitung des Exponenten als Faktor vorliegen.
Von daher wird hier wie folgt substituiert: $t \ := \ [mm] -\bruch{1}{4}x^2+x$ [/mm] .
Nun muss in dem Integral [mm] $\integral{\left(-\bruch{1}{2}*x+1\right)*e^{-\bruch{1}{4}x^2+x} \ dx}$ [/mm] auch das Differential $dx_$ durch die neue Variable $t_$, sprich: durch ein $dt_$ ersetzt werden.
Dies erreichen wir, indem wir die neue "Funktion" $t \ = \ t(x)$ ableiten:
$t' \ = \ t'(x) \ = \ [mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}x+1$
[/mm]
Umgestellt nach $dx \ = \ ...$ erhalten wir: $dx \ = \ [mm] \bruch{dt}{-\bruch{1}{2}x+1}$
[/mm]
Dies setzen wir nun alles mal ein in unser Integral:
[mm] $\integral{\left(-\bruch{1}{2}*x+1\right)*e^{\blue{-\bruch{1}{4}x^2+x}} \ \red{dx}} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\left(-\bruch{1}{2}*x+1\right)*e^{\blue{t}} \ \red{\bruch{dt}{-\bruch{1}{2}*x+1}}} [/mm] \ = \ ...$
Nun kann man hier die Klammer [mm] $\left(-\bruch{1}{2}*x+1\right)$ [/mm] kürzen, und es verbleibt das einfache Integral:
$... \ = \ [mm] \integral{e^t \ dt} [/mm] \ = \ [mm] e^t [/mm] + C$
Und wenn man nun "resubstituiert" (also das $t_$ wieder ersetzt durch [mm] $-\bruch{1}{4}*x^2+x$ [/mm] , ist man auch schon fertig.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Fr 20.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
Danke nun kommen wir der sache langsam näher. Aber ich glaube mir fehlen da ein paar Grundlagen > auf deutsch große wissenslücken sind vorhanden. Genau diese dinge mit dx und dt usw versteh ich nicht. Ich weiß nicht was es bedeutet. Denn so steht es auch in meinem buch :(. Kannst du mir vll in wenigen worten erklären was dx , dt und was es da sonst noch gibt bedeutet. Mein buch kann auf individuelle wünsche leider nicht eingehn.
LG Susi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Fr 20.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Susi!
Ganz einfach (zum Merken) formuliert, gibt dieses "![[]](/images/popup.gif) Differential" $dx_$ in dem Integral an, nach welcher Variable integriert wird; in diesem Falle nach $x_$ .
Zum Handling mit diesem Differential sollte man sich nochmal klar machen, was "Integrieren" eigentlich bedeutet.
Hier werden doch Teilflächen zwischen Funktionsgraph und x-Achse in sehr viele dünne Streifen mit der Breite $dx_$ (aus [mm] $\Delta [/mm] x$) zerlegt. Diese Streifen entsprechen Rechtecken, deren Flächeninhalt gemäß der Formel [mm] $\text{Breite mal Höhe}$ [/mm] folgenden Wert hat:
[mm] $A_{\text{Streifen}} [/mm] \ = \ [mm] f(x_i)*dx$
[/mm]
Wenn wir nun den Gesamtflächeninhalt unter der Funktion suchen, müssen wir diese vielen Streifen (bzw. deren Flächeninhalte) aufsummieren.
Genau dies wird nun in der Integration gemacht. Denn Integration ist nichts anderes als die Aufsummierung vieler-vieler dünner Rechteckstreifen der Breite $dx_$.
Daher steht in jedem Integral auch genau dieses $dx_$ .
Wenn wir nun bei der Substitution eine neue Variable (wie bei mir also z.B. $t_$) einführen, müssen wir dementsprechend auch die Streifenbreite von $dx_$ in $dt_$ umwandeln.
Dafür verwenden wir nun die Ableitung der Neufunktion $t(x)_$. Denn die Ableitung einer Funktion ist ja mal eingeführt worden als Differenzenquotient (mit sehr kleinen Unterschieden von $dt_$ und $dx_$):
$t'(x) \ = \ [mm] \bruch{dt}{dx}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:15 Fr 20.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
hallo
Das das dx beim integrieren immer dabei is weiß ich :) > leider war mir nich klar was es da soll.
So ganz hab ichs leider immer noch nicht verstanden. Oki wir haben streifen der breite dx. Und wo bekommt man nu theoretisch dir höhe der streifen und die anzahl her? Oder noch schlimmer warum bildet man die stammfunktion und das dx is plötzlich weg :)? Und zuletzt warum muss man dx durch dt ersetzen? was hat den das t mid dem dx zu tun? Und in welchen fällen braucht man dann die partielle integration?
Ich weiß hört sich sicher abenteuerlich an, aber würde das nu gern mal alles verstehn.
LG Susi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Sa 21.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
Hallo
Ich habs mir jetzt nochmal angeschaut> aber ich komme einfach nicht weiter. Kann vll nochmal jemand versuchen es mir zu erklären?
lg susi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Di 24.04.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo Susanne,
dann wollen wir mal unser dx zerlegen 
Skizziere dir eine Funktion [mm] f(x)=\red{y} [/mm] mit einem x-beliebigen gekrümmten Verlauf. Markiere jetzt zwei Punkte auf diesem Graphen, die nicht zu weit auseinander liegen. Wenn du über diese Punkte mit einem Lineal eine Gerade legst, dann erhältst du eine Sekante mit der Steigung [mm] m=tan(\alpha)=\bruch{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}
[/mm]
Nun rücken wir die beiden Punkte immer näher zusammen bis [mm] x_2 [/mm] gegen [mm] x_1 [/mm] läuft. Das ist der bekannte Grenzwert:
[mm] \limes_{x_2\rightarrow x_1}\bruch{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\green{f'(x)}
[/mm]
und um nicht immer diesen LIMES ausschreiben zu müssen, notiert man auch:
[mm] \green{f'(x)}=\bruch{d\red{y}}{dx}
[/mm]
Für eine (Zeit-)Funktion wird auch gerne t genommen bzw. für eine Substitution weicht man auf u aus, so dass das Differenzial nach t einfach [mm] f'(t)=\bruch{dy}{dt} [/mm] und das Differenzial nach u halt [mm] f'(u)=\bruch{dy}{du} [/mm] heißt. Es ist natürlich jede andere Belegung möglich
Nun noch ein paar grundsätzliche Dinge, denn das Ganze funktioniert nur wenn:
1. Wenn der Grenzwert überhaupt existiert
2. Wenn die Funktion differenzierbar ist
Am besten wieder mit einem Beispiel:
Sei [mm] \red{y}=f(x)=x^2
[/mm]
so ist [mm] (\red{y})'=f'(x)=2x [/mm] oder auch
[mm] \bruch{d\red{y}}{dx}=2x
[/mm]
Multipliziere ich die Gleichung formal mit dx, so erhalten wir:
[mm] $d\red{y}=2x\ [/mm] dx$
Wenn wir die Ausgangsfunktion [mm] \red{y} [/mm] haben möchten, müssen beide Seiten integriert werden und das ergibt:
[mm] \red{y}=\integral{2x\ dx}=x^2+C\quad (C\in\IR)
[/mm]
Siehst du nun, wo dein dx im Integral herkommt
Formal sieht das so aus:
Es sei f eine reellwertige Funktion auf einem reellen Intervall $I$ und es sei
[mm] $x\in [/mm] I$ fest.
Wenn der Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{f(x_n)-f(x)}{x_n-x} [/mm] für jede gegen x konvergente Folge [mm] (x_n)_n [/mm] mit [mm] x_n\not=x
[/mm]
und [mm] $x_n\in [/mm] I$ für alle [mm] n\in\IN [/mm] existiert und denselben Wert hat, wird dieser Wert mit f'(x) bezeichnet und die Ableitung von f in x genannt.
Die Funktion $f$ heißt dann in $x$ differenzierbar. Ist $f$ in allen [mm] $x\in [/mm] I$ differenzierbar, so heißt $f$ in $I$ differenzierbar, und die Funktion $f'\ :\ I\ [mm] \rightarrow\ \IR$ [/mm] mit $x [mm] \mapsto [/mm] f'(x)$ heißt (erste) Ableitung von $f$.
Die Funktion $f$ heißt stetig differenzierbar in $I$ , wenn sie in $I$ differenzierbar und die Ableitung in $I$ stetig ist.
Ich denke für heute reicht das erstmal
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Sa 21.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
Hallo ich bins nochmal.
Hab noch ne frage speziell zu der aufgabe. Am ende hat man ja
[mm] e^t [/mm] * dt
wenn man das t jetzt wieder durch den term ersetz wad passiert denn dann mit dem dt??
lG SUSI
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Sa 21.04.2007 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Susi,
> Hallo ich bins nochmal.
> Hab noch ne frage speziell zu der aufgabe. Am ende hat man
> ja
> [mm]e^t[/mm] * dt
Du hast
$ [mm] \integral {e^t dt} [/mm] = [mm] e^t [/mm] $
Für t kannst du jetzt den Term wieder einsetzen.
>
> wenn man das t jetzt wieder durch den term ersetz wad
> passiert denn dann mit dem dt??
Wenn du die Integration durchgeführt hast, hast du kein dt mehr.
Gruß
Sigrid
>
> lG SUSI
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Sa 21.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
Hallo
Na ist das was mein bei der Substitution rausbekommt dann schon die stammfkt ?
Denn so wie du das geschrieben hast also
[mm] \integral_{a}^{b} e^t [/mm] *dt
hieße das ja das wenn ich integrieren will ich erst noch die stammfkt bilden müsste.
Das sieht ja genauso aus wie wenn man
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] hat und wenn man dann die stammfkt bildet dx wegfällt.
Oder bring ich hier grad was durcheinander? Is das oben schon die stammfkt oder muss ich das noch normal aufleiten?
LG Susi
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Hi, Susa,
> Na ist das was mein bei der Substitution rausbekommt dann
> schon die stammfkt ?
>
> Denn so wie du das geschrieben hast also
>
> [mm]\integral_{a}^{b} e^t[/mm] *dt
> hieße das ja das wenn ich integrieren will ich erst noch
> die stammfkt bilden müsste.
Hat Loddar ja auch gemacht!
Er schrieb doch:
[mm] \integral{e^{t} *dt} [/mm] = [mm] e^{t} [/mm] (+c)
Das Lustige an der Funktion f(t) = [mm] e^{t} [/mm] (oder auch: [mm] f(x)=e^{x}) [/mm] ist doch gerade, dass sowohl Ableitung als auch Stammfunktion immer wieder die Funktion selbst ergibt:
f'(t) = [mm] e^{t}; [/mm] f''(t) = [mm] e^{t}; [/mm] ...
und auch:
F(t) = [mm] e^{t}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:32 So 22.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
Hallo
Langsam steige ich dahinter :). Du hast recht, aber es war für mich nicht so ersichtlich, wie wenn das cos(x)=und dann sin(x) als stammfkt gestanden hätte. Vielen Dank für die Hilfe.
LG Susi
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Hi, Susa,
> Stammfunktion von f(x) = (1 [mm]-2*x^2)[/mm] *e^(- [mm]x^2)[/mm]
Als Stammfunktion kriegst Du:
F(x) = [mm] x*e^{-x^{2}} [/mm] + c.
mfG!
Zwerglein
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