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Hallo,
ich brauche für eine Übungsaufgabe die Stammfunktion der Funktion:
[mm] f(x)=\bruch{1}{\wurzel{(2*\pi)}}\*\bruch{1}{(1+x^{2}/2)}
[/mm]
Nun habe ich den ersten Faktor vor die Wurzel gezogen und den zweiten Faktor umgeschrieben zu : [mm] \bruch{2}{(2+x^{2})}.
[/mm]
Ich weiß, dass die Stammfunktion von : [mm] \bruch{1}{(1+x^{2})} [/mm]
der Arkustangens ist.
Mein Problem ist, dass ich nicht erkenne, wie ich dieses Wissen nutzen kann um die Stammfunktion von [mm] \bruch{2}{(2+x^{2})} [/mm] zu berechnen. Vermutlich ist die Lösung super trivial und ich komme einfach nicht drauf... Aber stehe da gerade echt auf dem Schlauch. :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
Tipp: [mm] $\bruch{x^2}{2} [/mm] = [mm] \left(\bruch{x}{\sqrt{2}}\right)^2$
[/mm]
substituiere also $y = [mm] \bruch{x}{\sqrt{2}}$
[/mm]
Gruß,
Gono
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Vielen Dank!!
Komme dann mit meinem Integral auf:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{1+y}*\wurzel{2}dy}=\limes_{y\rightarrow\infty}Arctan(y)*\wurzel{2}-\limes_{y\rightarrow-\infty}Arctan(y)*\wurzel{2}=(\bruch{\pi}{2}-\bruch{-\pi}{2})*\wurzel{2}=\pi*\wurzel{2}
[/mm]
und somit für:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{2*\pi}}*\bruch{1}{1+(x^{2}/2)}dx}=\bruch{\pi*\wurzel{2}}{\wurzel{2*\pi}}=\wurzel{\pi}
[/mm]
Damit kann ich gut weiterarbeiten! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 Do 28.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich brauche für eine Übungsaufgabe die Stammfunktion der Funktion:
Vorsicht: Stammfunktionen sind nicht eindeutig. Daher sollte man nie von
DER Stammfunktion sprechen, sondern von EINER.
> [mm]f(x)=\bruch{1}{\wurzel{(2*\pi)}}\*\bruch{1}{(1+x^{2}/2)}[/mm]
>
> Nun habe ich den ersten Faktor vor die Wurzel gezogen und
> den zweiten Faktor umgeschrieben zu :
> [mm]\bruch{2}{(2+x^{2})}.[/mm]
>
> Ich weiß, dass die Stammfunktion von :
S.o.!
> [mm]\bruch{1}{(1+x^{2})}[/mm]
> der Arkustangens ist.
>
> Mein Problem ist, dass ich nicht erkenne, wie ich dieses
> Wissen nutzen kann um die Stammfunktion von
S.o.!
> [mm]\bruch{2}{(2+x^{2})}[/mm] zu berechnen. Vermutlich ist die
> Lösung super trivial und ich komme einfach nicht drauf...
> Aber stehe da gerade echt auf dem Schlauch. :(
Bitte in Zukunft darauf achten (hier ist das nicht besonders schlimm, aber
später wirst Du damit Dich und andere verwirren, wenn Dir das nicht ganz
klar ist).
Gruß,
Marcel
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