Stammfunktion bestimmen! < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Mi 03.08.2011 | | Autor: | Carlo |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Stammfunktion von f(x)= [mm] (x-1)*e^{^-^2^x^} [/mm] , x [mm] \in \IR, [/mm] die an der Stelle 0 den Wert 2 annimmt. |
Hallo,
ich habe zunächst einmal die Stammfunktion gebildet und komme auf:
F(x) = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] e^{^-^2^x^} [/mm] * ( 1-2x) + C
Nun muss ich doch den gegebenen Punkt in die obige Stammfunktion einsetzen, um C zu berechnen oder ?
Für C bekomme ich [mm] \bruch{7}{4} [/mm] heraus und wenn ich die Kontrolle mache:
F(0) = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * e^(^-^2^*^0^) * (1-2*0) + [mm] \bruch{7}{4}
[/mm]
F(0) = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{7}{4}
[/mm]
F(0) = 2
Geht man bei solchen Aufgaben immer so vor ? Also 1. Stammfunktion berechnen, 2. gegebene Punkte einsetzen und c berechnen und fertig ist die Aufgabe ??
Vielen Dank schonmal 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 Mi 03.08.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast dich bei der Stammfunktion vertan, die Korrekte Stammfunktion lautet:
$ [mm] F(x)=\frac{1}{\red{2}}\cdot(1-2x)\cdot e^{-2x} [/mm] $
Damit solltest du andere Werte für C bekommen, das Prinzip ist aber korrekt.
[mm] F'(x)=\frac{1}{2}\left(1-2x\cdot(-2)e^{-2x}+(-2)e^{-2x}\right)
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2}\left(-2+4x-2x\right)\cdot e^{-2x}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2}\left(-2+2x\right)\cdot e^{-2x}
[/mm]
[mm] =(x-1)\cdot e^{-2x}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Mi 03.08.2011 | | Autor: | Carlo |
Ich habe die Aufgabe zweimal, bevor ich sie hier gepostet habe, nachgerechnet und komme auf [mm] \bruch{1}{4} [/mm] . Jetzt wundere ich mich, wie du auf [mm] \bruch{1}{2} [/mm] kommst ? :S
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Mi 03.08.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich hab das mal in ein CAS Program eingeben und bin der Meinung Deine Lösung mit [mm] \bruch{1}{4} [/mm] stimmt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Mi 03.08.2011 | | Autor: | Carlo |
> Hi,
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> ich hab das mal in ein CAS Program eingeben und bin der
> Meinung Deine Lösung mit [mm]\bruch{1}{4}[/mm] stimmt.
>
>
Hallo ullim,
dann ist das jetzt erledigt, mittlerweile habe ich mir es nochmal angeschaut und komme wieder auf [mm] \bruch{1}{4} [/mm] :-S
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:00 Mi 03.08.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Ihr
Ihr habt recht, ich habe mich verrechnet gehabt, F(x) ist in der Tat so korrekt.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 So 25.09.2011 | | Autor: | Balsam |
Ich komme einfach nicht auf die Stammfunktion f(x)=$ [mm] (x-1)\cdot{}e^{^-^2^x^} [/mm] $
Könnt ihr mir erklären, welche Regel hier angewendet wurde?
Danke im Voraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 So 25.09.2011 | | Autor: | abakus |
> Ich komme einfach nicht auf die Stammfunktion f(x)=[mm] (x-1)\cdot{}e^{^-^2^x^}[/mm]
>
> Könnt ihr mir erklären, welche Regel hier angewendet
> wurde?
Hallo,
das geht mit partieller Integration.
Gruß Abakus
>
> Danke im Voraus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 So 25.09.2011 | | Autor: | Balsam |
Ich finde einfach meinen Fehler nicht
Ich rechne mal vor:
[mm] \integral{f(x)=f'(x)*g(x) dx}=f(x)*g(x)- \integral{f(x)*g'(x) dx}
[/mm]
[mm] f(x)=\bruch{1}{2}e^{-2x}, [/mm] g(x)=(x-1)
[mm] \Rightarrow\bruch{-1}{2}e^{-2x}(x-1)\integral{\bruch{-1}{2}e^{-2x}*1 dx}=\bruch{-1}{2}e^{-2x}(x-1)+\bruch{-1}{
4}e^{-2x}=\bruch{-1}{
4}e^{-2x}*(x-1)*x+C
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 So 25.09.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Ich finde einfach meinen Fehler nicht
> Ich rechne mal vor:
>
> [mm]\integral{f(x)=f'(x)*g(x) dx}=f(x)*g(x)- \integral{f(x)*g'(x) dx}[/mm]
das ist falsch. Wenn sich $f(x)$ als Produkt [mm] $f(x)=u'(x)\cdot [/mm] v(x)$ zweier Funktionen schreiben lässt, gilt:
[mm] $\int f(x)\,\mathrm{d}x=\int u'(x)\cdot v(x)\,\mathrm{d}x=u(x)\cdot v(x)-\int u(x)\cdot v'(x)\,\mathrm{d}x$
[/mm]
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{2}e^{-2x},[/mm] g(x)=(x-1)
Was willst Du integrieren? Ich dachte f sei [mm] $f(x)=(x-1)e^{-2x}$
[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\bruch{-1}{2}e^{-2x}(x-1)\integral{\bruch{-1}{2}e^{-2x}*1 dx}=\bruch{-1}{2}e^{-2x}(x-1)+\bruch{-1}{
4}e^{-2x}=\bruch{-1}{
4}e^{-2x}*(x-1)*x+C[/mm]
>
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:22 Mo 26.09.2011 | | Autor: | Balsam |
Meine Bezeichnungen waren etwas verwirrend
$ [mm] f(x)=(x-1)e^{-2x} [/mm] $
$ [mm] v(x)=\bruch{1}{2}e^{-2x}, [/mm] $
u(x)=(x-1)
Wenn ich u und v hier einsetze
$ [mm] \int f(x)\,\mathrm{d}x=\int u'(x)\cdot v(x)\,\mathrm{d}x=u(x)\cdot v(x)-\int u(x)\cdot v'(x)\,\mathrm{d}x [/mm] $
komme ich auf [mm] \bruch{-1}{ 4}e^{-2x}*x^{2}-x+C [/mm]
Wo liegt mein Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Mo 26.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Es gilt:
[mm] \int\underbrace{(x-1)}_{u}\underbrace{e^{-2x}}_{v'}dx=\underbrace{(x-1)}_{u}\underbrace{\left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right)}_{v}-\int\underbrace{1}_{u'}\underbrace{\left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right)}_{v}dx [/mm]
Das hintere Integral kannst du nun lösen, klammere danach [mm] e^{-2x} [/mm] aus und fasse weitestgehend zusammen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Mo 26.09.2011 | | Autor: | Balsam |
Wenn ich nun das hintere Integral löse, komme ich auf
[mm] \integral{1*\bruch{-1}{2}e^{-2x}dx}=x*\bruch{1}{4}e^{-2x}
[/mm]
Oder müsste ich die Konstante 1 vorziehen?
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Hallo Balsam,
> Wenn ich nun das hintere Integral löse, komme ich auf
> [mm]\integral{1*\bruch{-1}{2}e^{-2x}dx}=x*\bruch{1}{4}e^{-2x}[/mm]
Igitt. Nein, bestimmt nicht.
> Oder müsste ich die Konstante 1 vorziehen?
Das ist ein Faktor. Den kannst Du vorziehen. Oder einfach streichen.
[mm] \int{1*\bruch{-1}{2}e^{-2x}\ dx}=-\bruch{1}{2}\int{e^{-2x}\ dx}=???
[/mm]
Wenn Du es so nicht hinbekommst, kannst Du ja noch u=-2x substituieren, aber vergiss dann nicht [mm] dx=-\bruch{1}{2}du
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Mo 26.09.2011 | | Autor: | Balsam |
Diese Aufgabe hat mich ziemlich verwirrt
Ich versuche mal weiter
[mm] \int{1\cdot{}\bruch{-1}{2}e^{-2x}\ dx}=-\bruch{1}{2}\int{e^{-2x}\ dx}=\bruch{-1}{2}*-\bruch{1}{2}{e^{-2x}}
[/mm]
stimmt das erst einmal so?
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Hallo nochmal,
> Diese Aufgabe hat mich ziemlich verwirrt
Warum nur? Wenn es Deine erste partielle Integration ist, ist das verständlich - aber ansonsten hat die Aufgabe keine Überraschungen.
> Ich versuche mal weiter
> [mm]\int{1\cdot{}\bruch{-1}{2}e^{-2x}\ dx}=-\bruch{1}{2}\int{e^{-2x}\ dx}=\bruch{-1}{2}*-\bruch{1}{2}{e^{-2x}}[/mm]
>
> stimmt das erst einmal so?
Ja, das stimmt so. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Mo 26.09.2011 | | Autor: | Balsam |
Okey also
wenn ich das jetzt zusammen fasse und die Klammer auflöse, komme ich auf:
[mm] \Rightarrow\bruch{1}{4}e^{-2x}*-\bruch{1}{2}x*\bruch{1}{2}
[/mm]
Da muss ja jetzt wieder ein Fehler sein ?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Mo 26.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Okey also
> wenn ich das jetzt zusammen fasse und die Klammer
> auflöse, komme ich auf:
>
> [mm]\Rightarrow\bruch{1}{4}e^{-2x}*-\bruch{1}{2}x*\bruch{1}{2}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Da muss ja jetzt wieder ein Fehler sein ?!
Dann zeig doch mal die Schritte.
Du hast:
$ \int(x-1)e^{-2x}dx $
$ =(x-1)\left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right)-\int1\cdot\left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right)dx $
$ =-\frac{1}{2}(x-1)e^{-2x}-\left(-\frac{1}{2}\right)\int e^{-2x}dx $
$ =-\frac{1}{2}(x-1)e^{-2x}+\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right)$
$ =-\frac{1}{2}(x-1)e^{-2x}-\frac{1}{4}e^{-2x}\right)$
$ =-\frac{2}{4}(x-1)e^{-2x}-\frac{1}{4}e^{-2x}\right)$
$ =-\frac{1}{4}\left[2(x-1)e^{-2x}+e^{-2x}\right]$
Den Rest schaffst du jetzt wieder.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:12 Mo 26.09.2011 | | Autor: | Balsam |
Vielen Dank, nun habe ich es verstanden :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Mo 26.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Stammfunktion zu [mm] e^{-2x} [/mm] hast du doch schon in der partiellen Integration verwandt, da war doch nichts meues mehr zu bestimmen.
Marius
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