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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Mi 14.03.2007 | | Autor: | M.Rex |
| Aufgabe | | Zeige durch Integration, dass [mm] F(x)=\bruch{-1}{e^{x}+1} [/mm] eine Stammfunktion zu [mm] f(x)=\bruch{e^{x}}{(e^{x}+1)²} [/mm] ist |
Ich habe hier schon diverse Verfahren ausprobiert.
Zuerst Substituition [mm] z=e^{x}
[/mm]
[mm] f(z)=\bruch{z}{(1+z)²}=z*(1+z)^{-2}
[/mm]
Und nun Partielle Integration:
[mm] \integral\bruch{z}{(1+z)²}=z*(1+z)^{-2}=[\bruch{1}{2}z²*(1+z)^{-2}]+2*\integral(1+z)^{-1}
[/mm]
Wenn ich jetzt das Hintere Integral löse, steht dort:
[mm] \integral\bruch{z}{(1+z)²}=z*(1+z)^{-2}=[\bruch{1}{2}z²*(1+z)^{-2}]+2*\red{ln|z+1|}
[/mm]
Und das bekomme ich jetzt nicht auf die gegebene Stammfunktion vereinfacht.
Habe ich jetzt irgendwo einen richtig dicken Rechenfehler?
Der kommt jemand damit auf die Lösung?
Marius
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Hi, M.Rex,
unabhängig davon, ob Dein Weg zum Ziel führt:
Mit der Substitution z = [mm] (e^{x}+1) [/mm] ginge alles wesentlich einfacher!
Aber schauen wir kurz in Deinen Vorschlag:
> Zeige durch Integration, dass [mm]F(x)=\bruch{-1}{e^{x}+1}[/mm] eine
> Stammfunktion zu [mm]f(x)=\bruch{e^{x}}{(e^{x}+1)²}[/mm] ist
> Ich habe hier schon diverse Verfahren ausprobiert.
>
> Zuerst Substituition [mm]z=e^{x}[/mm]
>
> [mm]f(z)=\bruch{z}{(1+z)²}=z*(1+z)^{-2}[/mm]
>
> Und nun Partielle Integration:
>
> [mm][mm] \integral\bruch{z}{(1+z)²}
[/mm]
Und was ist dx, wenn [mm] z=e^{x} [/mm] ist?
Auf KEINEN FALL darfst Du einfach "dx = dz" setzen!!!!!
mfG!
Zwerglein
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Hallo M.Rex,
versuche mal die Substitution x:=ln(u).
Damit geht es in ein paar Schritten.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Mi 14.03.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Schachuzipus,
> versuche mal die Substitution x:=ln(u).
bis auf die Wahl des Buchstaben (u statt z) ist das genau dieselbe Substitution, die M.Rex "gemacht" hat!
mfG!
Zwerglein
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Hi,
hast ja recht 
hatte es nur "überflogen" - ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
LG
schachuzipus
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