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Hallo,
kämpfe gerade ein wenig mit Stammfunktionbildung. Es sind mehrere Aufgaben, ich stell erstmal eine, vielleicht ergeben sich die anderen noch von selbst.
Es geht um die Stammfunktionbildung von x*WURZEL(2x+3)
Bin für Anregungen und Lösungen sehr dankbar.
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Hallo nutzer0101,
> Hallo,
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> kämpfe gerade ein wenig mit Stammfunktionbildung. Es sind
> mehrere Aufgaben, ich stell erstmal eine, vielleicht
> ergeben sich die anderen noch von selbst.
>
> Es geht um die Stammfunktionbildung von x*WURZEL(2x+3)
[mm]\int{x\cdot{}\sqrt{2x+3} \ dx} \ \ \ \leftarrow \ \ \text{klick!}[/mm]
>
> Bin für Anregungen und Lösungen sehr dankbar.
Nun, wende partielle Integration an: [mm]\int{u(x)\cdot{}v'(x) \ dx}=u(x)\cdot{}v(x)-\int{u'(x)\cdot{}v(x) \ dx}[/mm] mit [mm]u(x)=x[/mm] und [mm]v'(x)=\sqrt{2x+3}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
alternativ kannst du auch $z=z(x)=2x+3$ substituieren, dann hast du nicht mit der verketteten Wurzel zu kämpfen ...
Gruß
schachuzipus
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Hm, danke erstmal.
also habe ich dann
2/3 * x * (2x-3) ^(3/2) - Integral (Wurzel 2x+3)
dann komme ich schlussendlich auf
2/3 * (x-1) * (2x+3)^(3/2)
LÖsung sagt aber anstatt der 2/3 am Anfang 1/5 und auf die komm ich irgendwie noch nicht...
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Hallo nochmal,
Benutze doch bitte den Editor, wie man Integral und Wurzel eintippt, habe ich dir doch oben gezeigt!
> Hm, danke erstmal.
>
> also habe ich dann
>
> 2/3 * x * (2x-3) ^(3/2) - Integral (Wurzel 2x+3)
Der erste Faktor stimmt nicht! Am hinteren Integral hast du den Vorfaktor komplett weggelassen ...
Rechne bitte vor!
>
> dann komme ich schlussendlich auf
>
> 2/3 * (x-1) * (2x+3)^(3/2)
>
> LÖsung sagt aber anstatt der 2/3 am Anfang 1/5 und auf die
> komm ich irgendwie noch nicht...
Das sehen wir, wenn du vorrechnest...
Gruß
schachuzipus
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Also ich arbeite immer noch dran.
Ich hab den Term unter der Wurzel mit u substituiert.
Ich erhalte dann
1/2 * [mm] \int{x\cdot{}\sqrt{u}\ du} [/mm] (ich hoffe, das haut hier mit dem editor...)
v=x
v'=1
[mm] w'=\sqrt{u}
[/mm]
w=2/3 u^(3/2)
dann komme ich aktuell auf
1/2 * [(2/3)x * u^(3/2) - [mm] \int{(2/3)*u^(3/2)}
[/mm]
im nächsten Schritt KÄME ich ja theoretisch dann auf jeden fall shconmal auf die 1/5 vorne wenn das integrieren hinten nicht auf einmal 5/2 als exponenten ergeben würde...
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> Also ich arbeite immer noch dran.
>
> Ich hab den Term unter der Wurzel mit u substituiert.
Ok, also die andere Variante 
>
> Ich erhalte dann
>
> 1/2 * [mm]\int{x\cdot{}\sqrt{u}\ du}[/mm] (ich hoffe, das haut hier
> mit dem editor...)
Haut es, aber nun hast du 2 Variablen unterm Integral ...
Das gibt Kuddelmuddel!
Mit der Substitution [mm]u=2x+3[/mm] ist doch [mm]x=\frac{u-3}{2}[/mm]
Du bekommst also [mm]\frac{1}{2}\int{\frac{u-3}{2}\sqrt{u} \ du}=\frac{1}{4}\int{(u-3)\cdot{}u^{1/2} \ du}[/mm]
Und das kannst du als Summe zweier leicht zu lösenden Integrale schreiben:
[mm]=\frac{1}{4}\int{u^{3/2} \ du} \ - \ \frac{3}{4}\int{u^{1/2} \ du}[/mm]
Nun aber ...
>
> v=x
> v'=1
> [mm]w'=\sqrt{u}[/mm]
> w=2/3 u^(3/2)
>
> dann komme ich aktuell auf
>
> 1/2 * [(2/3)x * u^(3/2) - [mm]\int{(2/3)*u^(3/2)}[/mm]
>
> im nächsten Schritt KÄME ich ja theoretisch dann auf
> jeden fall shconmal auf die 1/5 vorne wenn das integrieren
> hinten nicht auf einmal 5/2 als exponenten ergeben
> würde...
Gruß
schachuzipus
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Damit komme ich aber immer noch nicht zum Ergebnis, tut mir Leid ...
Also leuchtet mir erstmal durchaus ein, danke bisher.
Aber wenn ich nun deine Zeile habe und das nun integriere komme ich doch auf
1/10 * u ^ (5/2) - (1/2) * u ^ (3/2)
doch wie komme ich denn auf das gegebene Ergebnis:
1/5 * (x-1) * (2x+3)^(3/2) wenn ich oben einmal 5/2 und einmal 3/2 als exponent habe?
danke für die mühe...
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Hallo nochmal,
> Damit komme ich aber immer noch nicht zum Ergebnis, tut mir
> Leid ...
>
> Also leuchtet mir erstmal durchaus ein, danke bisher.
>
> Aber wenn ich nun deine Zeile habe und das nun integriere
> komme ich doch auf
>
> 1/10 * u ^ (5/2) - (1/2) * u ^ (3/2) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> doch wie komme ich denn auf das gegebene Ergebnis:
> 1/5 * (x-1) * (2x+3)^(3/2) wenn ich oben einmal 5/2 und
> einmal 3/2 als exponent habe?
Nun, erstmal resubstituieren:
[mm]\frac{1}{10}(2x+3)^{\frac{5}{2}}-\frac{1}{2}(2x+3)^{\frac{3}{2}}[/mm]
Nun beachte, dass [mm](2x+3)^{\frac{5}{2}}=(2x+3)^{\frac{3}{2}+\frac{2}{2}}=(2x+3)^{\frac{3}{2}}\cdot{}(2x+3)[/mm] ist.
Klammere dann [mm](2x+3)^{\frac{3}{2}}[/mm] aus und vereinfache ...
>
> danke für die mühe...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 Fr 27.05.2011 | | Autor: | nutzer0101 |
Oh, endlich hab ich es. Danke!
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Und weil es so "schön" ist noch eine Aufgabe...
neue Funktion:
[mm] \int{x^4 * \wurzel{3*x^5 - 4} dx}
[/mm]
Ich hatte zunächst gehofft, dass sich die Aufgabe von selbst klärt nach der 1., Fehlanzeige ;)
Wollte hier wieder partiell integrieren, komme da aber deutlich ins shcleudern. Muss ich irgendwie mit trig. Funktionen substituieren?? Ich kann das generell noch sehr schlecht an so Aufgaben erkennen....
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Hallo nochmal,
> Und weil es so "schön" ist noch eine Aufgabe...
Dann mache bitte das nächste Mal einen neuten thread auf!
>
> neue Funktion:
>
> [mm]\int{x^4 * \wurzel{3*x^5 - 4} dx}[/mm]
>
> Ich hatte zunächst gehofft, dass sich die Aufgabe von
> selbst klärt nach der 1., Fehlanzeige ;)
> Wollte hier wieder partiell integrieren, komme da aber
> deutlich ins shcleudern. Muss ich irgendwie mit trig.
> Funktionen substituieren?? Ich kann das generell noch sehr
> schlecht an so Aufgaben erkennen....
Naja, wenn du dir das genau anschaust, steht mit [mm]x^4[/mm] ja schon fast die Ableitung des Wurzelterms, also von [mm]3x^5-4[/mm] da.
Da bietet es sich an zu substituieren.
Probiere mal [mm]u=u(x):=3x^5-4[/mm]
Gruß
schachuzipus
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