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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Mo 20.04.2009 | | Autor: | wolle238 |
| Aufgabe | Berechnen Sie mit Hilfe der Substitution x = 2 arctan(t) und anschließender Partialbruchzerlegung (siehe Ergänzung zur Integrationstheorie) das unbestimmte Integral
[mm]\integral \bruch{1}{sin^2(x) cos(x)} dx.[/mm] |
Hallo! Ich soll die Aufgabe daoben lösen. Das sieht bei mir bisher so aus:
Durch Substitution mit x = 2 arctan(t) folgt:
[mm]sin(x) = sin(2 arctan(t)) = \bruch{2t}{1+t2}[/mm] und [mm]cos(x) = cos(2 arctan(t)) = \bruch{1- t^2}{1+t^2}[/mm]. Daraus folgt
[mm] \int \frac{1}{\sin^2(2\arctan(t)) \cos(2 \arctan(t))} (2 \arctan(t))' dt = \int \frac{1}{\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2 \frac{1-t^2}{1+t^2}} \dfrac{2}{1+t^2} dt
= \int \frac{2}{\frac{4t^2}{1+t^2} 1-t^2} dt
= \int \frac{1+t^2}{2t^2(1-t^2)} dt[/mm]
Wenn ich nun mit Partialbruchzerlegung weiter mache, bekomme ich
[mm]\bruch{1+ t^2}{2t^2(1-t^2)} = \bruch{A}{2t} + \bruch{B}{t} + \bruch{C}{1-t} + \bruch{D}{1+t} [/mm]
Dann bekomme ich irgendwann eine ellen langen Term. Gibt es eine bessere / einfachere Lösung? Oder hab ich vielleicht irgendeinen Fehler?
Das Kurzskript, von dem in der Aufgabe gesprochen wird, ist hier zu finden: ![[]](/images/popup.gif) Integrations Kurzskript
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Mo 20.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie mit Hilfe der Substitution x = 2 arctan(t)
> und anschließender Partialbruchzerlegung (siehe Ergänzung
> zur Integrationstheorie) das unbestimmte Integral
> [mm]\integral \bruch{1}{sin^2(x) cos(x)} dx.[/mm]
> Hallo! Ich soll
> die Aufgabe daoben lösen. Das sieht bei mir bisher so aus:
>
> Durch Substitution mit x = 2 arctan(t) folgt:
> [mm]sin(x) = sin(2 arctan(t)) = \bruch{2t}{1+t2}[/mm] und [mm]cos(x) = cos(2 arctan(t)) = \bruch{1- t^2}{1+t^2}[/mm].
> Daraus folgt
>
> [mm]\int \frac{1}{\sin^2(2\arctan(t)) \cos(2 \arctan(t))} (2 \arctan(t))' dt = \int \frac{1}{\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2 \frac{1-t^2}{1+t^2}} \dfrac{2}{1+t^2} dt
= \int \frac{2}{\frac{4t^2}{1+t^2} 1-t^2} dt
= \int \frac{1+t^2}{2t^2(1-t^2)} dt[/mm]
>
> Wenn ich nun mit Partialbruchzerlegung weiter mache,
> bekomme ich
>
> [mm]\bruch{1+ t^2}{2t^2(1-t^2)} = \bruch{A}{2t} + \bruch{B}{t} + \bruch{C}{1-t} + \bruch{D}{1+t}[/mm]
Hallo,
ziehe den Faktor (1/2) heraus, der stört nur.
Danach lautet der richtige Ansatz zur PBZ (unter der Voraussetzung, dass bis dahin alles so stimmt)
[mm] ...=\bruch{A}{t^2} [/mm] + [mm] \bruch{B}{t} [/mm] + [mm] \bruch{C}{1-t} [/mm] + [mm] \bruch{D}{1+t}
[/mm]
Gruß Abakus
>
> Dann bekomme ich irgendwann eine ellen langen Term. Gibt es
> eine bessere / einfachere Lösung? Oder hab ich vielleicht
> irgendeinen Fehler?
>
> Das Kurzskript, von dem in der Aufgabe gesprochen wird, ist
> hier zu finden:
> Integrations Kurzskript
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Mo 20.04.2009 | | Autor: | wolle238 |
Allein die Konstante rausziehen bringt mich ja auch nicht wirklich weiter. Ich habe das jetzt so gemacht:
[mm]1 + t^2 = A(1-t^2) + B(1-t^2) + Ct(1+t) + Dt(1-t) = A - At^2 + B - Bt^2 + Ct + Ct^2 + Dt + Dt^2[/mm]
Daraus folgt dann:
(1) [mm]1 = A + B \Rightarrow B = 1 - A[/mm]
(2) [mm]0t = (C + D)t \Rightarrow C = -D[/mm] und
(3) [mm]1t^2 = (-A - B + C - D) t^2 [/mm]
(1) und (2) eingesetzt in (3) ergibt dann:
[mm]1 = -A - (1-A) - D - D \Leftrightarrow 2 = -2 D \Leftrightarrow -1 = D[/mm]
Wenn ich nun mit diesem Wert weiterechne bekomme ich für [mm]C = 1[/mm], aber für A und B keine weiteren Werte...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Mo 20.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Allein die Konstante rausziehen bringt mich ja auch nicht
> wirklich weiter. Ich habe das jetzt so gemacht:
Das mit dem Faktor 0,5 war nicht das wesentliche. Dein Ansatz zur PBZ hatte den Faktor [mm] t^2 [/mm] nicht richtig berücksichtigt.
>
> [mm]1 + t^2 = A(1-t^2) + B(1-t^2) + Ct(1+t) + Dt(1-t) = A - At^2 + B - Bt^2 + Ct + Ct^2 + Dt + Dt^2[/mm]
>
> Daraus folgt dann:
> (1) [mm]1 = A + B \Rightarrow B = 1 - A[/mm]
> (2) [mm]0t = (C + D)t \Rightarrow C = -D[/mm]
> und
> (3) [mm]1t^2 = (-A - B + C - D) t^2[/mm]
>
> (1) und (2) eingesetzt in (3) ergibt dann:
> [mm]1 = -A - (1-A) - D - D \Leftrightarrow 2 = -2 D \Leftrightarrow -1 = D[/mm]
>
> Wenn ich nun mit diesem Wert weiterechne bekomme ich für [mm]C = 1[/mm],
> aber für A und B keine weiteren Werte...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:35 Mo 20.04.2009 | | Autor: | wolle238 |
Ich glaub ich hab meinen Fehler gefunden. Ich hätte das [mm]t^2[/mm] nicht aufteilen dürfen. Somit habe ich jetzt:
[mm]\bruch{1+t^2}{2t^2(1-t^2)} = \bruch{A}{2t^2} + \bruch{B}{1-t} + \bruch{C}{1+t} = 1 + t^2 = A(1 - t^2) + 2Bt^2(1+t) + 2C t^2(1-t) = A - At^2 + 2Bt^2 + 2Bt^3 + 2Ct^2 - Ct^2 [/mm]
Daraus folgt:
(1) [mm] 1 = A[/mm]
(2) [mm] t^2 = (-A + 2B + 2C)t^2[/mm]
(3) [mm] 0 t^3 = (2B - 2C)t^3 \Righrarrow B = C [/mm]
(1) und (3) eingesetzt in (2) ergibt
[mm] 1 = -1 + 4B \Leftrightarrow B = 0.5[/mm]
Also erhalte ich
[mm] \int \bruch{1}{t^2} dt + \int \bruch{1}{2(1-t)} dt + \int \bruch{1}{2(1+t)} dt [/mm] und dann kann ich normal weiter machen...
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Hallo wolle328,
> Berechnen Sie mit Hilfe der Substitution x = 2 arctan(t)
> und anschließender Partialbruchzerlegung (siehe Ergänzung
> zur Integrationstheorie) das unbestimmte Integral
> [mm]\integral \bruch{1}{sin^2(x) cos(x)} dx.[/mm]
> Hallo! Ich soll
> die Aufgabe daoben lösen. Das sieht bei mir bisher so aus:
>
> Durch Substitution mit x = 2 arctan(t) folgt:
> [mm]sin(x) = sin(2 arctan(t)) = \bruch{2t}{1+t2}[/mm] und [mm]cos(x) = cos(2 arctan(t)) = \bruch{1- t^2}{1+t^2}[/mm].
> Daraus folgt
>
> [mm]\int \frac{1}{\sin^2(2\arctan(t)) \cos(2 \arctan(t))} (2 \arctan(t))' dt = \int \frac{1}{\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2 \frac{1-t^2}{1+t^2}} \dfrac{2}{1+t^2} dt
= \int \frac{2}{\frac{4t^2}{1+t^2} 1-t^2} dt
= \int \frac{1+t^2}{2t^2(1-t^2)} dt[/mm]
>
> Wenn ich nun mit Partialbruchzerlegung weiter mache,
> bekomme ich
>
> [mm]\bruch{1+ t^2}{2t^2(1-t^2)} = \bruch{A}{2t} + \bruch{B}{t} + \bruch{C}{1-t} + \bruch{D}{1+t}[/mm]
>
> Dann bekomme ich irgendwann eine ellen langen Term. Gibt es
> eine bessere / einfachere Lösung? Oder hab ich vielleicht
> irgendeinen Fehler?
Das muss doch so lauten:
[mm]\int \frac{1}{\sin^2(2\arctan(t)) \cos(2 \arctan(t))} (2 \arctan(t))' dt [/mm]
[mm]=\int \frac{1}{\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2 \frac{1-t^2}{1+t^2}} \dfrac{2}{1+t^2} dt [/mm]
[mm]= \int \frac{2}{\frac{4t^2}{\left(1+t^2\right)^{\red{2}}} \left(1-t^2\right)} dt[/mm]
[mm] = \int \frac{\left(1+t^2\right)^{\red{2}}}{2t^2(1-t^2)} dt[/mm]
>
> Das Kurzskript, von dem in der Aufgabe gesprochen wird, ist
> hier zu finden:
> Integrations Kurzskript
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Di 21.04.2009 | | Autor: | wolle238 |
Ja, den Fehler hab ich auch gefunden und deswegen komme ich da nicht weiter, weil ich dann irgendwann sowas erhalte wie 1 = 0 und das kann ja nicht sein... :(
Meine Partialbruchzerlegung sieht dann so aus:
[mm] \bruch{t^4 + 2t^2 +1}{t^2 - t^4} = \bruch{t^4 + 2t^2 + 1 - 1 - 3t^2 + 1 + 3t^2}{t^2 - t^4} = \bruch{t^4 - t^2}{-t^4 + t^2} + \bruch{1 + 3t^2}{-t^4 + t^2}[/mm]
[mm] \bruch{1 + 3t^2}{-t^4 + t^2} = \bruch{A}{t} + \bruch{B}{t^2} + \bruch{C}{t-1} + \bruch{D}{t+1} [/mm]
[mm] 1 + 3t^2 = At^2(1-t^2) + Bt(1-t^2) + Ct^3(1+t) + Dt^3(1-t)[/mm]
Da in jedem Summanden auf der rechten Seite der Gleichung mind. ein t vorhanden ist, ist irgendwo noch ein (Denk)Fehler...
Kann mir da noch jemand weiter helfen??
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo wolle238,
> Ja, den Fehler hab ich auch gefunden und deswegen komme ich
> da nicht weiter, weil ich dann irgendwann sowas erhalte wie
> 1 = 0 und das kann ja nicht sein... :(
>
> Meine Partialbruchzerlegung sieht dann so aus:
> [mm]\bruch{t^4 + 2t^2 +1}{t^2 - t^4} = \bruch{t^4 + 2t^2 + 1 - 1 - 3t^2 + 1 + 3t^2}{t^2 - t^4} = \bruch{t^4 - t^2}{-t^4 + t^2} + \bruch{1 + 3t^2}{-t^4 + t^2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1 + 3t^2}{-t^4 + t^2} = \bruch{A}{t} + \bruch{B}{t^2} + \bruch{C}{t-1} + \bruch{D}{t+1}[/mm]
>
> [mm]1 + 3t^2 = At^2(1-t^2) + Bt(1-t^2) + Ct^3(1+t) + Dt^3(1-t)[/mm]
>
Hier muß es doch heißen:
[mm]\red{-}1\red{-} 3t^2 = At^{\red{1}}(\red{t^{2}-1}) + Bt^{\red{0}}(\red{t^{2}-1}) + Ct^{\red{2}}(1+t) + Dt^{\red{2}}({\red{t-1}})[/mm]
> Da in jedem Summanden auf der rechten Seite der Gleichung
> mind. ein t vorhanden ist, ist irgendwo noch ein
> (Denk)Fehler...
>
> Kann mir da noch jemand weiter helfen??
>
> Vielen Dank im Voraus!
Gruß
MathePower
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