Stammfunktion mit Substitution < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:52 So 12.03.2006 | | Autor: | Ninjoo |
| Aufgabe 1 | Berechnen Sie das unbestimmte Integral von
a) [mm]f(x)=\frac{\ln(x+1)}{\sqrt{x+1}}[/mm]
b) [mm]g(x)=\ln\sqrt{x^2+1}[/mm]
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| Aufgabe 2 |
Geben sie eine Stammfunktion der allgemeinen Logarithmusfunktion [mm]f(x)=\log_a x\;(a>0,a \ne 1)[/mm] für [mm]x>0[/mm] an.
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bei a) hab ich eine Sustitution probiert mit [mm]z=\sqrt{x^2+1}[/mm] hat aber nicht viel gebracht :´(
da ich dann nur das Integral : [mm]\int{\frac{\ln z}{z^2}\mathrm{d}z}[/mm] bekomme und das kann ich nicht integrieren,
da ich mit der partiellen Integration keinen Faktor wegkriege =(
bei b) hab' ich nichtmal eine Idee/substitution...
Und Aufgabe 2 versteh ich nicht, soll ich da mit der eulerschen Zahl was machen oder wie?
Hoffe auf eure Hilfe!
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:28 Di 14.03.2006 | | Autor: | ronald |
> ist das hier dann nicht eher ln(z²) und z im Nenner?
>
Hallo,
Nein, es würde nach der Substution nur noch ln(z²) da stehen und mit einem Blick in jede gute Formelsammlung kriegt man sofort die Stammfunktion von
f(x) = ln x [mm] \to [/mm] F(x) = x ln(x) - x.
d.h für unsere Aufgabe
[mm] \integral{ln(z²) dz} [/mm] = 2* [mm] \integral{ln(z) dz} [/mm] = [mm] 2(\wurzel{x+1}*ln\wurzel{x+1}-\wurzel{x+1}).
[/mm]
Das müsste stimmen. Ich habe eine Probe gemacht.
LG
ronald
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:42 Di 14.03.2006 | | Autor: | ronald |
> > ist das hier dann nicht eher ln(z²) und z im Nenner?
> >
>
> Hallo,
> Nein, es würde nach der Substution nur noch ln(z²) da
> stehen und mit einem Blick in jede gute Formelsammlung
> kriegt man sofort die Stammfunktion von
> f(x) = ln x [mm]\to[/mm] F(x) = x ln(x) - x.
> d.h für unsere Aufgabe
> [mm]\integral{ln(z²) dz}[/mm] = 2* [mm]\integral{ln(z) dz}[/mm] =
> [mm]2(\wurzel{x+1}*ln\wurzel{x+1}-\wurzel{x+1}).[/mm]
> Das müsste stimmen. Ich habe eine Probe gemacht.
>
> LG
> ronald
>
Hallo,
sorry, das stimmt doch nicht ganz. Es hat noch der Faktor 2 gefehlt.
richtige Lösung:
[mm]\integral{2*ln(z²) dz}[/mm] = 4* [mm]\integral{ln(z) dz}[/mm] =
[mm]4(\wurzel{x+1}*ln\wurzel{x+1}-\wurzel{x+1}).[/mm]
Grüsse
Ronald
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:16 Di 14.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Ninjoo!
Forme die allgemeine Logarithmusfunktion zunächst um:
[mm] $\log_a(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\ln(x)}{\ln(a)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\ln(a)}*\ln(x)$
[/mm]
Und die Stammfunktion der [mm] $\ln(x)$-Funktion [/mm] löst man mittels partieller Integration. Damit wird also:
[mm] $\integral{\log_a(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\ln(a)}*\integral{\red{1}*\ln(x) \ dx}$
[/mm]
Wähle $u' \ := \ 1$ sowie $v \ := \ [mm] \ln(x)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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