Stammfunktion von -x*e^(-x^2) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit [mm] f(x)=-x*e^{-x^2}. [/mm] (...)
d) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f.
(Kontrollergebnis: [mm] F(x)=0,5e^{-x^2}) [/mm] |
Hallo liebe Community,
gerade beigetretten, da ich bei einem Problem wirklich nicht weiter komme, bitte ich Euch um Hilfe bei der Berechnung einer Integralfunktion.
Wie weit ich bisher gekommen bin:
[mm] f(x)=-x*e^{-x^2}
[/mm]
[mm] F(x)=\integral_{a}^{b}{-x*e^(-x^2) dx}
[/mm]
[mm] =-\integral_{a}^{b}{x*e^(-x^2) dx}
[/mm]
Substitution:
[mm] z=-x^2
[/mm]
g(t): Gleichung nach x umformen.
[mm] z=-x^2 [/mm] |*(-1)
[mm] x^2=-z [/mm] |wurzel[]
[mm] x_1=wurzel[-z]
[/mm]
[mm] x_2=-wurzel[-z]
[/mm]
Mein Problem ist, dass diese Funktionen für [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] ja nur für negative z definiert sind und die Funktion sich ja für alle x Element R.
Ist es denn bisher überhaupt richtig oder bietet sich von vornherein eine andere Substitution an?
Vielen Dank für Eure Hilfe,
whitelord.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
grundsätzlich muss man beim Integrieren per Substitution auch das Differenzial mitsubstituieren. Das geht so:
[mm]z=-x^2 \Rightarrow z'=\bruch{dz}{dx}=-2z \gdw dx=-\bruch{dz}{2x}[/mm]
Das sollte dein Problem lösen. Eine weitere Sache ist dir aber auch noch durch die Lappen gegangen: wenn du ein bestimmtes Integral substituierst, dann musst du auch die Grenzen mitsubstituieren. Dein Integral geht dann in diesem Fall von [mm] -b^2 [/mm] bis [mm] -a^2.
[/mm]
Eine Möglichkeit, dies zu umgehen ist die, zuerst unbestimmt zu integrieren, rückzusubstituieren und erst anschließend das bestimmte Integral zu berechnen. Das ist vor allem für den Anfang weniger fehleranfällig. Für später ist die erste Methode aber empfehlenswerter, weil man ja nicht zurücksubstituieren muss und die Rechnung somit schneller geht.
Gruß, Diophant
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Erst einmal vielen Dank für Deine Antwort!
Wenn ich das richtig verstanden habe, geht es dann so weiter:
dx=-dz/dx
=> [mm] F(x)=-\integral_{}^{}{wurzel[-t]*e^t * (-dz/2t)}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{wurzel[-t]*e^t * (dz/2t)}
[/mm]
[mm] =0,5\integral_{}^{}{wurzel[-t]*e^t * (dz/t)}
[/mm]
Da ich ja schon weiß, dass am Ende [mm] 0,5e^t [/mm] bzw. [mm] 0,5e^{-x^2} [/mm] rauskommt, müsste sich jetzt irgendwie die wurzel[-t] wegkürzen.
Die einzige Möglichkeit wäre meiner Ansicht nach, das /t im Faktor dz/t. Bei wurzel[-t]/t kürzt sich aber irgendwie nichts weg.
Und die Sache, dass das nur für negative t definiert ist bleibt ja auch ein Problem...
Ich würde mich freuen, wenn Ihr mir erklären könntet, wo mein Fehler liegt.
Vielen Dank für Eure Hilfe,
whitelord.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Erst einmal vielen Dank für Deine Antwort!
> Wenn ich das richtig verstanden habe, geht es dann so
> weiter:
> dx=-dz/dx
> => [mm]F(x)=-\integral_{}^{}{wurzel[-t]*e^t * (-dz/2t)}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{}^{}{wurzel[-t]*e^t * (dz/2t)}[/mm]
>
> [mm]=0,5\integral_{}^{}{wurzel[-t]*e^t * (dz/t)}[/mm]
>
> Da ich ja schon weiß, dass am Ende [mm]0,5e^t[/mm] bzw. [mm]0,5e^{-x^2}[/mm]
Nein, da hast du mich missverstanden. Mit [mm] z=-x^2 [/mm] und [mm] dx=-\bruch{dz}{2x} [/mm] bekommst du
[mm]\integral{-x*e^{-x^2} dx}=\integral{-x*e^z\ \bruch{-dz}{2x}}=\integral{e^z \bruch{dz}{2}}=\bruch{1}{2}\integral{e^z dz}[/mm]
Mache dir klar, was ich da oben gemacht habe. Probiere es spaßeshalber auch mal bei anderen Integralen aus und du wirst schnell feststellen, dass diese Methode oft gar nicht funktioniert. Der Integrand muss bestimmte Kriterien erfüllen, aber das ist vermutlich noch Zukunftsmusik. 
Gruß, Diophant
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Danke nochmals für Deine schnelle Antwort!
Das heißt also, man muss bei der Substitution nicht zwangsläufig alle x ersetzen, sondern kann sich vielmehr aussuchen welche man ersetzt und welche nicht?
Das Problem mit der Wurzel entfällt dann ja auch...
Viele Grüße, whitelord.
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Hallo,
> Das heißt also, man muss bei der Substitution nicht
> zwangsläufig alle x ersetzen, sondern kann sich vielmehr
> aussuchen welche man ersetzt und welche nicht?
> Das Problem mit der Wurzel entfällt dann ja auch...
Genau so ist es. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Diophant
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