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Stammfunktion von e-Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:59 Di 03.04.2007
Autor: Pitchriddick

Aufgabe
Ableitung der Funktionen:
[mm] 1.)f(x)=3x*e^{-x+1} [/mm]    ist    [mm] f'(x)=3e^{-x+1}*(1-x) [/mm]
[mm] 2.)f(x)=x*e^{-2x}+2 [/mm]    ist    [mm] f'(x)=e^{-2x}*(1-2x) [/mm]

Nun will ich von den Ableitungen die Stammfunktion bilden, sodass ich wieder auf f(x) komme.

Hi, kann mir einer eine detaillierte Lösung angeben?
Weil ich sitze hier schon seit 2Tagen daran, probiere hin und her, bekomme aber nichts hin! Habe auch schon in einem anderen Forum gefragt, wo mir Tipps gegeben wurden, aber nichts nützen, komme dennoch nicht zum Ziel. Und da ich Ferien habe, kann ich auch nicht meinen Lehrer fragen. Ist wichtig, da Abi Vorbereitung, in der Schule hatten wir das nicht.

Ich kann ja wieder wiederholen, was ich schon 100mal falsch gemacht habe:

[mm] \integral_{}^{}{u'*v dx} [/mm] = u *v [mm] -\integral_{}^{}{u*v'} [/mm]
[mm] u=e^{-2x} [/mm]
$ v=(1-2x) $
v'= -2

= [mm] e^{-2x} [/mm] *(1-2x) [mm] -\integral_{}^{}{e^{-2x}*(-2)} [/mm]
[mm] =[e^{-2x} [/mm] *(1-2x)] [mm] -[2e^{-2x}] [/mm]

=bahnhof ist ja sowieso total falsch


was mich noch wundert ist,warum es manchmal plötzlich Vorzeichenwechsel gibt?

Vielen Dank schon mal!


Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?postid=468314#post468314  und abwärts

        
Bezug
Stammfunktion von e-Funktionen: Stammfunktionen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:24 Di 03.04.2007
Autor: barsch

Hi,

$ [mm] 1.)f(x)=3x\cdot{}e^{-x+1} [/mm] $

Stammfunktion:

[mm] 1.)\integral{3x\cdot{}e^{-x+1} dx}=-3x\cdot{}e^{-x+1}-(-\integral{3\cdot{}e^{-x+1}) dx}=-3x\cdot{}e^{-x+1}-(-(-3\cdot{}e^{-x+1}))=-3x\cdot{}e^{-x+1}-3\cdot{}e^{-x+1} [/mm]

In der Tat sind Vorzeichenwechsel hier immer blöd. Damit du aber alles im Auge behälst, immer Klammer setzen!!!

$ [mm] 2.)f(x)=x\cdot{}e^{-2x}+2 [/mm] $

[mm] 2.)\integral{x\cdot{}e^{-2x}+2 dx}=-x*\bruch{1}{2}e^{-2x}-(-\integral{\bruch{1}{2}e^{-2x} dx})+\integral{2 dx}=-x*\bruch{1}{2}e^{-2x}-\bruch{1}{4}e^{-2x}+2x [/mm]

MfG

Bezug
                
Bezug
Stammfunktion von e-Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:51 Di 03.04.2007
Autor: Pitchriddick

Och menno ;( du hast mich falsch verstanden und die Stammfunktionen von f(x) berechnet ...
Aber ich hätte gerne gewusst, wie der Rechenweg zur Stammfunktionbildung der Ableitungen aussieht, sodass ich wieder f(x) herausbekomme ;)

Kannst du die Mühe noch einmal aufbringen?

Dankeeeeeee

Bezug
                        
Bezug
Stammfunktion von e-Funktionen: Rechenweg
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:01 Di 03.04.2007
Autor: Roadrunner

Hallo Pitchriddick!


Deine Ansätze sind ja nicht schlecht.

Wir wählen (bei der 2. Aufgabe):

$u \ := \ 1-2x$     [mm] $\Rightarrow$ [/mm]     $u' \ = \ -2$

$v' \ := \ [mm] e^{-2x}$ $\Rightarrow$ [/mm]     $v \ = \ [mm] \bruch{1}{-2}*e^{-2x} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}*e^{-2x}$ [/mm]

Der Faktor [mm] $\bruch{1}{-2}$ [/mm] entsteht durch die innere Ableitung von [mm] $e^{\red{-2}*x}$ [/mm] . Das solltest Du sehen, wenn Du [mm] $-\bruch{1}{2}*e^{-2x}$ [/mm] wieder ableitest gemäß MBKettenregel.


So, und nun setzen wir dies alles ein in die Formel für die partielle Integration:

$... \ = \ [mm] (1-2x)*\left[-\bruch{1}{2}*e^{-2x}\right]-\integral{(-2)*e^{-2x} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}*(1-2x)*e^{-2x}+2*\integral{e^{-2x} \ dx} [/mm] \ = \  ...$


Und das Integral [mm] $\integral{e^{-2x} \ dx}$ [/mm] bestimmst Du wie oben beim Schritt von $v'_$ zu $v_$ .


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
        
Bezug
Stammfunktion von e-Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:03 Di 03.04.2007
Autor: leduart

Hallo
> Ableitung der Funktionen:
> [mm]1.)f(x)=3x*e^{-x+1}[/mm]    ist    [mm]f'(x)=3e^{-x+1}*(1-x)[/mm]
>  [mm]2.)f(x)=x*e^{-2x}+2[/mm]    ist    [mm]f'(x)=e^{-2x}*(1-2x)[/mm]
>  
> Nun will ich von den Ableitungen die Stammfunktion bilden,
> sodass ich wieder auf f(x) komme.
>  Hi, kann mir einer eine detaillierte Lösung angeben?
> Weil ich sitze hier schon seit 2Tagen daran, probiere hin
> und her, bekomme aber nichts hin! Habe auch schon in einem
> anderen Forum gefragt, wo mir Tipps gegeben wurden, aber
> nichts nützen, komme dennoch nicht zum Ziel. Und da ich
> Ferien habe, kann ich auch nicht meinen Lehrer fragen. Ist
> wichtig, da Abi Vorbereitung, in der Schule hatten wir das
> nicht.
>
> Ich kann ja wieder wiederholen, was ich schon 100mal falsch
> gemacht habe:
>  
> [mm]\integral_{}^{}{u'*v dx}[/mm] = u *v [mm]-\integral_{}^{}{u*v'}[/mm]
>  [mm]u=e^{-2x}[/mm]
> [mm]v=(1-2x)[/mm]

hier liegt dein Fehler!
[mm]u'=e^{-2x}[/mm]
[mm]u=-1/2*e^{-2x}[/mm]

>  v'= -2
>  
> = [mm]e^{-2x}[/mm] *(1-2x) [mm]-\integral_{}^{}{e^{-2x}*(-2)}[/mm]
>  [mm]=[e^{-2x}[/mm] *(1-2x)] [mm]-[2e^{-2x}][/mm]
>  
> =bahnhof ist ja sowieso total falsch

Nicht total, nur ein Faktor 1/2 und ein Vorzeichen!

>
> was mich noch wundert ist,warum es manchmal plötzlich
> Vorzeichenwechsel gibt?

Wenn halt beim Differenzieren oder integrieren ein Minus  (meist aus dem Exponenten) dazukommt!
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Stammfunktion von e-Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:57 Sa 07.04.2007
Autor: Pitchriddick

hmm, bekomme es trotzdem nicht hin:

= [mm] [-\bruch{1}{2}*e^{-2x}*(1-2x)] [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{-\bruch{1}{2}*e^{-2x}*(-2)} [/mm]

= [mm] [-\bruch{1}{2}*e^{-2x}*(1-2x)] [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{e^{-2x}} [/mm]

= [mm] -\bruch{1}{2}*e^{-2x}+e^{-2x}] [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{e^{-2x}} [/mm]

hmm , kann mir einer erklären,was ich genau falsch mache?
ich will es endlich hinbekommen..

danke

Bezug
                        
Bezug
Stammfunktion von e-Funktionen: partielle Integration
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:38 Sa 07.04.2007
Autor: barsch

Hi,

ich mal wieder ;-)
Hatte anfangs die Aufgabe falsch verstanden. Hoffe, jetzt verstehe ich, was du machen willst.

Du willst [mm] f'(x)=e^{-2x}\cdot{}(1-2x) [/mm] integrieren?

[mm] f'(x)=e^{-2x}-2x*e^{-2x} [/mm]

______________



[mm] \integral{e^{-2x} dx}=-\bruch{1}{2}*e^{-2x} [/mm]

fehlt noch:

(mittels partieller Integration:)

[mm] \integral{-2x*e^{-2x} dx}=2x*\bruch{1}{2}*e^{-2x}-\underbrace{(\integral{e^{-2x} dx})}_{=sieheOben}=2x*\bruch{1}{2}*e^{-2x}-(-\bruch{1}{2}*e^{-2x}) [/mm]

[mm] \integral{e^{-2x}-2x*e^{-2x} dx}=\integral{e^{-2x}}+(\integral{-2x*e^{-2x} dx)}=-\bruch{1}{2}*e^{-2x}+2x*\bruch{1}{2}*e^{-2x}-(-\bruch{1}{2}*e^{-2x}) [/mm]

[mm] =-\bruch{1}{2}*e^{-2x}+2x*\bruch{1}{2}*e^{-2x}+\bruch{1}{2}*e^{-2x}=x*e^{-2x} [/mm]

Dein [mm] f(x)=x*e^{-2x}+C [/mm]

MfG

Hoffe, dieses Mal war ich eine größere Hilfe :-)


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Stammfunktion von e-Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:28 Sa 07.04.2007
Autor: Pitchriddick

hi,danke für deine mühe...
nur kann ich leider deinen lösungsweg nicht so sehr nachvollziehen, bzw. was du für zwischenschritte gemacht hast.
und wieso hast du ein C hinten drangesetzt. in der lösung ist es 2



Bezug
                                        
Bezug
Stammfunktion von e-Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:08 Sa 07.04.2007
Autor: vagnerlove

Hallo

Warum er das drangesetzt hat, kann ich Ihnen leicht erklären.
Wenn man ableitet, fällt die 2 weg, da es eine Konstante ist.
Wenn man dann aber das unbestimmte Integral  nildet steht eben nicht 2 am Schluss, sondern eine beliebige Konstante C, die eben bei dieser Aufgabe 2 wäre.

Gruß

R. Kleiner

Bezug
        
Bezug
Stammfunktion von e-Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:11 Sa 07.04.2007
Autor: vagnerlove

Hallo

Ich würde bei dieser Aufgabe zuerst Substitueiren und dann partiell ableiten
Bei der Substitution wäre s=-2x und ds= -2dx
[mm] -1/2*(e^s*(s+1)ds) [/mm]
nun integrieren Sie partiell
u=s+1
[mm] dv=e^s [/mm] ds
du=1 ds
[mm] v=e^s [/mm]

[mm] -e^s*s/2-e^s/2+1/2*(e^s)ds [/mm]
nun das integrall bilden, vereinfachen, und zurücksubstitueiren:
s=-2x

MFG

R. Kleiner


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