Stammfunktionen von Brüchen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 So 12.03.2006 | | Autor: | Anna_M |
Ich habe sehr grpße Schwierigkeiten dabei Stammfunktionen von Brüchen herauszufinden...
Zum Bsp. ist folgende Funktion gegeben:
f(x)= [mm] \bruch{1+x}{x}
[/mm]
f´(x)= x - (1+x)*1 / [mm] x^{2} [/mm] = -1 / [mm] x^{2}
[/mm]
Wie kann ich nun ausgehend von der Ableitung (ist sie so richtig?) die Stammfunktion bilden?
Vielen Dank im voraus für eure Mühe. ;)
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:05 So 12.03.2006 | | Autor: | Anna_M |
Danke. :)
Also lautet dann die Stammfunktion:
F(x)= ln(x) + x
bzw.
Wie müsste man das als Bruch schreiben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 So 12.03.2006 | | Autor: | Anna_M |
Wie macht man das den bei folgendem Bruch:
f(x)= [mm] e^{x} [/mm] / (x - 1)
Zur Übung:
f´(x)= [mm] e^{x}*(x-1) [/mm] - [mm] e^{x}*(1) [/mm] / [mm] (x-1)^{2}
[/mm]
= [mm] e^{x} [/mm] (x - 1 - 1) / (x - [mm] 1)^{2} [/mm] = [mm] e^{x}(x-2) [/mm] / (x-1){2}
Kann man noch weiter vereinfachen? Stimmt das so?
Wie bildet man davon nun die Stammfunktion?
F(x)= [mm] e^{x} [/mm] / [mm] (\bruch{1}{2}*x^{2} [/mm] - x)
Das kann nur falsch sein, da man nach solch einer Methode nicht vorgehen darf...
Welche Methoden gibt es denn, um Stammfunktionen von Brüchen zu bilden (bis auf die, dass man den Bruch zerlegt)?
Das geht ja hier nicht, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:11 Mo 13.03.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Anna!
> Wie macht man das den bei folgendem Bruch:
>
> f(x)= [mm]e^{x}[/mm] / (x - 1)
> Zur Übung:
> f´(x)= [mm]e^{x}*(x-1)[/mm] - [mm]e^{x}*(1)[/mm] / [mm](x-1)^{2}[/mm]
> = [mm]e^{x}[/mm] (x - 1 - 1) / (x - [mm]1)^{2}[/mm] = [mm]e^{x}(x-2)[/mm] / (x-1){2}
= [mm]e^{x}(x-2)[/mm] / [mm] (x-1)^{2}
[/mm]
> Kann man noch weiter vereinfachen? Stimmt das so?
Kleiner Schreibfehler!
> Wie bildet man davon nun die Stammfunktion?
> F(x)= [mm]e^{x}[/mm] / [mm](\bruch{1}{2}*x^{2}[/mm] - x)
> Das kann nur falsch sein, da man nach solch einer Methode
> nicht vorgehen darf...
Ebend! Kennst du partielle Integration und Integration durch Substitution und diesen ganzen Kram? Stammfunktionen suchen hat auch mit Erfahrung und Probieren zu tun, ist das eine Schulaufgabe oder willst du es einfach nur wissen?
> Welche Methoden gibt es denn, um Stammfunktionen von
> Brüchen zu bilden (bis auf die, dass man den Bruch
> zerlegt)?
> Das geht ja hier nicht, oder?
Jedenfalls habe ich noch keine Antwort.
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Mo 13.03.2006 | | Autor: | Anna_M |
Leider haben wir so etwas nie im Mathe-Unterricht gemacht...
Ich habe also keine Ahnung wie das mit der partiellen Integration und mit der Substitution funktioniert...
Kannst du mir das vielleicht erklären?
Ich schätze schon, dass ich das Morgen für meine Klausur brauchen werde.
Vielen Dank für die Hilfe.
Anna.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:51 Mo 13.03.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Anna,
also wenn ihr das nicht im Unterricht hattet, wird es wohl auch morgen nicht drankommen, oder??
L G Walde
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:58 Mo 13.03.2006 | | Autor: | Anna_M |
Leider kann man das bei unserem Lehrer nie erahnen...
Vorsichtshalber wäre es schon ganz gut, wenn ich wüsste, wie das funktioniert...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Mo 13.03.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Anna!
> Leider haben wir so etwas nie im Mathe-Unterricht
> gemacht...
>
> Ich habe also keine Ahnung wie das mit der partiellen
> Integration und mit der Substitution funktioniert...
>
> Kannst du mir das vielleicht erklären?
> Ich schätze schon, dass ich das Morgen für meine Klausur
> brauchen werde.
Das könnte ich dir erklären, wenn du hier in Hamburg wohntest und heute noch Zeit hättest. Im Ernst: Dazu braucht man in der Schule mehrere Unterrichtsstunden und einen Stapel Hausaufgaben, auf diesem Wege geht das nicht. Ich drück dir einfach die Daumen, daß es nicht rankommt, dürfte es eigentlich auch nicht...
Gruß und ToiToiToi
Dieter
>
> Vielen Dank für die Hilfe.
> Anna.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 So 12.03.2006 | | Autor: | Anna_M |
Zur Übung habe ich auch die Ableitungen gemacht:
f(x)= x * ln( [mm] \wurzel{x}) [/mm] = x * [mm] ln(x^{1/2})
[/mm]
f´(x)= (x / [mm] 2x^{-1/2}) [/mm] / [mm] \wurzel{x}
[/mm]
f(x)= ln(x) / [mm] x^{3}
[/mm]
f`(x)= [mm] (\bruch{1}{x}*x^{3} [/mm] - [mm] ln(x)*3x^{2}) [/mm] / [mm] x^{6}
[/mm]
ln(x) = [mm] e^{ln(x)} [/mm] ?
Hier komme ich bei der Ableitung nicht weiter...
f(x)= ln[1 / [mm] (x^{2} [/mm] - 1]
f´(x)= 2x / (1 / [mm] x^{2} [/mm] - 1)
Wie fasst man das zusammen?
Danke nochmals für eure Unterstützung...Ich bin echt eine Matheniete... :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:02 Mo 13.03.2006 | | Autor: | statler |
> Zur Übung habe ich auch die Ableitungen gemacht:
>
> f(x)= x * ln( [mm]\wurzel{x})[/mm] = x * [mm]ln(x^{1/2})[/mm]
> f´(x)= (x / [mm]2x^{-1/2})[/mm] / [mm]\wurzel{x}[/mm]
Es ist f(x) = [mm] \bruch{1}{2} \times [/mm] x [mm] \times [/mm] ln(x)
und dann nach Produktregel
f'(x) [mm] =\bruch{1}{2} \times [/mm] (x [mm] \times \bruch{1}{x} [/mm] + ln(x))
= [mm] \bruch{1}{2}(1 [/mm] + ln(x))
> f(x)= ln(x) / [mm]x^{3}[/mm]
> f'(x)= [mm](\bruch{1}{x}*x^{3}[/mm] - [mm]ln(x)*3x^{2})[/mm] / [mm]x^{6}[/mm]
Du kannst im Zähler [mm] x^{2} [/mm] ausklammern und dann kürzen.
> ln(x) = [mm]e^{ln(x)}[/mm] ?
> Hier komme ich bei der Ableitung nicht weiter...
Ich auch nicht, das verstehe ich nicht!
> f(x)= ln[1 / [mm](x^{2}[/mm] - 1]
> f´(x)= 2x / (1 / [mm]x^{2}[/mm] - 1)
> Wie fasst man das zusammen?
Es ist f(x) = ln [mm] \bruch{1}{x^{2} - 1} [/mm] = [mm] -ln(x^{2} [/mm] - 1) = -ln(x+1)(x-1)
= -ln(x+1) - ln(x-1)
und jetzt geht f' ganz einfach, hoffe ich doch.
> Danke nochmals für eure Unterstützung...Ich bin echt eine
> Matheniete... :(
Wahrscheinlich kannst du zum Ausgleich gut singen 
Gruß aus dem Norden
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:28 Mo 13.03.2006 | | Autor: | Anna_M |
Damit auch alle etwas davon haben und durch meine zuvor unternommenen Fehler nicht irritiert werden, finden sich hier noch einmal die vollständigen Ableitungen der 3 Funktionen im Anhang. ;)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Mo 13.03.2006 | | Autor: | Anna_M |
Die Ableitungen haben wir also bearbeitet (ich hatte vorhin offenbar eine kurzzeitige Erleuchtung und konnte die Ableitung bei erneutem Versuch selbstständig und sogar richtig (! XD) bilden. :)
Die Frage nach der Bestimmung der Stammfunktionen bleibt allerdings. Ich hoffe, dass sie in der anderen zu diesem Thema gestellten Frage ("Bruch mit e hoch x") beantwortet wird.
Außerdem habe ich noch eine kurze Frage, die sich auf die allgemeinen Logarithmusgesetze bezieht:
[mm] $ln(a^x)=ln(a)\*x$ \textcircled{2}
[/mm]
Heißt das hier zufällig: [mm] ln(a^{x})=ln(a) [/mm] * [mm] x^{2} [/mm]
oder: [mm] ln(a^{x})=ln(a) [/mm] * x ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Mo 13.03.2006 | | Autor: | statler |
> Die Ableitungen haben wir also bearbeitet (ich hatte vorhin
> offenbar eine kurzzeitige Erleuchtung und konnte die
> Ableitung bei erneutem Versuch selbstständig und sogar
> richtig (! XD) bilden. :)
>
> Die Frage nach der Bestimmung der Stammfunktionen bleibt
> allerdings. Ich hoffe, dass sie in der anderen zu diesem
> Thema gestellten Frage ("Bruch mit e hoch x") beantwortet
> wird.
>
>
>
> Außerdem habe ich noch eine kurze Frage, die sich auf die
> allgemeinen Logarithmusgesetze bezieht:
> [mm]ln(a^x)=ln(a)\*x[/mm] [mm]\textcircled{2}[/mm]
>
> Heißt das hier zufällig: [mm]ln(a^{x})=ln(a)[/mm] * [mm]x^{2}[/mm]
> oder: [mm]ln(a^{x})=ln(a)[/mm] * x ?
Das letztere ist korrekt!
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Eigentlich ja [mm] \ln(|x|)!
[/mm]