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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Di 24.02.2015 | | Autor: | magics |
| Aufgabe | Beim 5–maligen Messen der L¨ange eines Stabes erh¨alt man die Werte (in mm)
x1 = 31.0, x2 = 30.9, x3 = 30.8, x4 = 31.2, x5 = 31.1 |
Hallo,
Für das arithmetische Mittel gilt:
x = [mm] \bruch{1}{5}(31.0 [/mm] + 30.9 + 30.8 + 31.2 + 31.1) = 31.0
und für die Standardabweichung
[mm] s_{\overline{x}} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{5*4}((31.0 - 31.0)^{2} + (30.9 - 31.0)2 + ... + (31.1 - 31.0)^{2})}
[/mm]
Die Standardabweichung wurde aus der Formel:
[mm] Var(\overline{X}) [/mm] = [mm] \bruch{\delta^{2}}{n}
[/mm]
hergeleitet, indem man [mm] \delta^{2} [/mm] in der Formel durch die erwartungstreue Schätzfunktion [mm] \hat \delta^{2} [/mm] ersetzt. Diese Formel wird in dem Kapitel für Mehrfachmessungen (Durchführung von n Einzelmessungen), wie in dem Beispiel oben angegeben.
Meine Frage:
wie kann [mm] Var(\overline{X}) [/mm] = [mm] \bruch{\delta^{2}}{n} [/mm] die Formel für die Standardabweichung sein, wenn gleichzeitig z.B. bei diskreten Zufallsvariablen [mm] \delta^{2} [/mm] = Var(X) ist?
Und:
Was ist der Unterschied zwischen [mm] Var(\overline{X}) [/mm] und Var(X)?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:40 Mi 25.02.2015 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Beim 5–maligen Messen der L¨ange eines Stabes erh¨alt
> man die Werte (in mm)
> x1 = 31.0, x2 = 30.9, x3 = 30.8, x4 = 31.2, x5 = 31.1
>
Das ist eine Tatsachenbeschreibung, aber was ist die Aufgabe?
> Hallo,
>
> Für das arithmetische Mittel gilt:
>
> x = [mm]\bruch{1}{5}(31.0[/mm] + 30.9 + 30.8 + 31.2 + 31.1) = 31.0
>
> und für die Standardabweichung
Für welche Standardabweichung? Du has die des Mittelwertes genommen.
>
> [mm]s_{\overline{x}}[/mm] = [mm]\wurzel{\bruch{1}{5*4}((31.0 - 31.0)^{2} + (30.9 - 31.0)2 + ... + (31.1 - 31.0)^{2})}[/mm]
>
> Die Standardabweichung wurde aus der Formel:
>
> [mm]Var(\overline{X})[/mm] = [mm]\bruch{\delta^{2}}{n}[/mm]
>
> hergeleitet, indem man [mm]\delta^{2}[/mm] in der Formel durch die
> erwartungstreue Schätzfunktion [mm]\hat \delta^{2}[/mm] ersetzt.
> Diese Formel wird in dem Kapitel für Mehrfachmessungen
> (Durchführung von n Einzelmessungen), wie in dem Beispiel
> oben angegeben.
>
> Meine Frage:
>
> wie kann [mm]Var(\overline{X})[/mm] = [mm]\bruch{\delta^{2}}{n}[/mm] die
> Formel für die Standardabweichung sein, wenn gleichzeitig
> z.B. bei diskreten Zufallsvariablen [mm]\delta^{2}[/mm] = Var(X)
> ist?
Weil $X$ und [mm] $\overline{X}$ [/mm] zwei verschiedene Dinge sind!
>
> Und:
> Was ist der Unterschied zwischen [mm]Var(\overline{X})[/mm] und
> Var(X)?
Der Mittelwert [mm] $\overline{X}$ [/mm] ist ebenfalls eine Zufallsvariable und hat daher ebenfalls eine Varianz, die kleiner ist als die Varianz von $X$ selbst. Anschaulich: Die Mittelwerte von vielen 5er-Messungen werden dichter beieinander liegen als die Meßwerte selbst.
Gruß aus HH
Dieter
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