Starkes Gesetz der großen Zah. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Do 22.09.2005 | | Autor: | Athena |
Hallo! :)
Ich habe folgenden Korollar zum starken Gesetz der großen Zahlen in meinem Skript gefunden. Leider wird er kaum erklärt und die Vorlesung liegt schon ein Weilchen zurück (leider kein so tolles Skript). Könnte mir jemand vielleicht mit dem Verständnis ein wenig helfen?
Er lautet:
Sei [mm] (X_{i})_{i \in \IN} [/mm] iid und m [mm] \in [/mm] M (kann man hier irgendwie ein Frakturschrift-M machen?)
Dann gilt für fast alle [mm] \omega
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n}1_{m}(X_{i}(\omega))=P({X_{1} \in m})
[/mm]
Aus dem Zusammenhang schließe ich, dass man daraus irgendwie ersehen kann, dass für große Zahlen ab einem bestimmten Punkt in einem statistischen Experiment von den aufgetretenen Zahlen auf die Verteilungsfunktion geschlossen werden kann. Quasi ein Umkehrschluss zum starken Gesetz der großen Zahlen. Aber wie ergibt sich das durch die Formel, die verstehe ich im Detail nicht. Warum steht da auf der rechten Seite nur [mm] X_{1} [/mm] und nicht [mm] X_{i}?
[/mm]
Für eure Hilfe schon im Voraus dankbar
Eure Jessi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:15 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Jessica!
Da die Folge [mm] $(X_i)_{i \in \IN}$ [/mm] identisch verteilt ist, gilt zunächst:
(1) [mm] $E[1_m(X_i)] [/mm] = [mm] E[1_m(X_1)] [/mm] = [mm] E[1_{\{X_1 \in m\}}] [/mm] = [mm] P(X_1 \in [/mm] m)$
für alle $i [mm] \in \IN$.
[/mm]
Das Gesetz der Großen Zahlen sagt aus:
(2) [mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n \left[ 1_m(X_i) - E[1_m(X_i)] \right] [/mm] = 0$.
Bringt man (1) und (2) zusammen, so erhält man die Behauptung:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n \left[ 1_m(X_i) - E[1_m(X_i)] \right] [/mm] = 0$
[mm] $\Leftrigtarrow \quad \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n \left[ 1_m(X_i) - \underbrace{P(X_1 \in m)}_{\mbox{\scriptsize unabhängig von n}} \right] [/mm] = 0$
[mm] $\Leftrigtarrow \quad \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n 1_m(X_i) [/mm] - [mm] P(X_1 \in [/mm] m) = 0$
[mm] $\Leftrigtarrow \quad \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n 1_m(X_i) [/mm] = [mm] P(X_1 \in [/mm] m)$.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:38 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Athena |
Danke schön! :)
Ich denke das ganze ist mir jetzt etwas klarer.
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