Stationäre Punkte < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 Mo 15.06.2009 | | Autor: | cooly |
| Aufgabe | Berechnen Sie alle stationären Punkt mit der Lagrange-Methode:
f [mm] (x_{1}, x_{2}, x_{3}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} x_{1}^{3} [/mm] + [mm] x_{1}x_{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{10 } x_{3}^{2}
[/mm]
Nebenbedingung: [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 3 |
Ich habe die Lagrangefunktion wie folgt aufgestellt:
L [mm] (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \lambda) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} x_{1}^{3} [/mm] + [mm] x_{1}x_{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{10 } x_{3}^{2} [/mm] - [mm] \lambda [/mm] * [mm] (x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] - 3)
Dann habe ich die partiellen Ableitungen gebildet und null gesetzt:
Nach [mm] x_{1}: \bruch{3}{4} x_{1}^{2} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] = 0
Nach [mm] x_{2}: x_{1} [/mm] - [mm] \lambda [/mm] = 0
Nach [mm] x_{3}: \bruch{1}{5} x_{3} [/mm] - [mm] \lambda [/mm] = 0
Nach [mm] \lambda: [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] - [mm] x_{3} [/mm] + 3 = 0
Nun sollte ich die vier Gleichungen lösen um auf die stationären Punkte zu kommen, aber wie gehe ich dabei vor?
Vielen Dank!
Gruß
cooly
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 Mo 15.06.2009 | | Autor: | fred97 |
(1) $ [mm] \bruch{3}{4} x_{1}^{2} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] $ = 0
(2) [mm] x_{1} [/mm] - $ [mm] \lambda [/mm] $ = 0
(3) [mm] \bruch{1}{5} x_{3} [/mm] - $ [mm] \lambda [/mm] $ = 0
(4): $ - [mm] x_{2} [/mm] - [mm] x_{3} [/mm] + 3 = 0$
Aus (2) und (3) erhälst Du
(5) [mm] $x_3 [/mm] = [mm] 5x_1$
[/mm]
Daraus mit (4):
(6) [mm] $x_2 [/mm] = [mm] 3-5x_1$
[/mm]
(1) und (6) liefern eine quadratische Gleichung für [mm] x_1. [/mm] Löse diese und bestimme mit (5) und (6) dann [mm] x_3 [/mm] bzw. [mm] x_2
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 Di 16.06.2009 | | Autor: | cooly |
Vielen Dank für die Antwort.
Ich komme durch die quadratische Gleichung auf zwei Lösungen für [mm] x_{1}: [/mm] Entweder 6 oder [mm] \bruch{2}{3}.
[/mm]
Dementsprechend gibt es nach meiner Rechnung zwei stationäre Punkte:
(6, -27, 30) und [mm] (\bruch{2}{3}, -\bruch{1}{3}, \bruch{10}{3})
[/mm]
Ist das korrekt?
Besten Dank
cooly
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:18 Di 16.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für die Antwort.
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> Ich komme durch die quadratische Gleichung auf zwei
> Lösungen für [mm]x_{1}:[/mm] Entweder 6 oder [mm]\bruch{2}{3}.[/mm]
>
> Dementsprechend gibt es nach meiner Rechnung zwei
> stationäre Punkte:
>
> (6, -27, 30) und [mm](\bruch{2}{3}, -\bruch{1}{3}, \bruch{10}{3})[/mm]
>
> Ist das korrekt?
Ja
FRED
>
> Besten Dank
> cooly
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