Stationäre Punkte < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:36 So 21.06.2009 | | Autor: | cracker |
| Aufgabe | Klassifikation stationärer Punkte
(a) Finden Sie die 9 stationären Punkte der Funktion
f(x, y) = [mm] 2x^4 [/mm] + [mm] y^4 [/mm] − [mm] 2x^2 [/mm] − [mm] 2y^2,
[/mm]
das heißt diejenigen Punkte, für die der Gradient von f(x, y) der Nullvektor
ist.
(b) Geben Sie die Hessematrix von f(x, y) an jeder der 9 Stellen an.
(c) Berechnen Sie jeweils die Eigenwerte der Hessematrix von f(x, y) an jedem der
9 Punkte und klassifizieren Sie die Punkte sowohl als (parabolisch, hyperbolisch
oder elliptisch) als auch als (Maximum, Minimum, Sattelpunkt). |
Hallo,
berechnet habe ich bis jetzt:
grad f(x,y) = [mm] (8x^3 [/mm] -4x, [mm] 8y^3 [/mm] - 4y)
kann man hier die berechnung irgendwie abkürzen, da ja beide ableitungen das gleiche aussagen?
mit [mm] 8x^3 [/mm] -4x = 0 bekomme ich: [mm] x_1 [/mm] = 0 , [mm] x_2 [/mm] = [mm] \wurzel{1/2} [/mm] , [mm] x_3 [/mm] = - [mm] \wurzel{1/2}
[/mm]
für [mm] 8y^3 [/mm] - 4y = 0 dann natürlich die selben werte..
jetzt steht da ich soll die 9 stat. punkte finden.
wenn ich aber alle 6 lösungen beliebig kombiniere, bekomme ich nicht nur 9 sondern 18, das hat ja sicher etwas damit zu tun, dass da 2mal das gleiche steht, weiß aber nicht wie ich das begründen soll..
danke im vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 So 21.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo cracker!
> (a) Finden Sie die 9 stationären Punkte der Funktion
> f(x, y) = [mm]2x^4[/mm] + [mm]y^4[/mm] − [mm]2x^2[/mm] − [mm]2y^2,[/mm]
Hier hat sich wohl ein Tippfehler eingeschlichen, da es sicher auch [mm] $\red{2}*y^4$ [/mm] heißen soll.
> mit [mm]8x^3[/mm] -4x = 0 bekomme ich: [mm]x_1[/mm] = 0 , [mm]x_2[/mm] = [mm]\wurzel{1/2}[/mm] , [mm]x_3[/mm] = - [mm]\wurzel{1/2}[/mm]
> für [mm]8y^3[/mm] - 4y = 0 dann natürlich die selben werte..
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> jetzt steht da ich soll die 9 stat. punkte finden.
> wenn ich aber alle 6 lösungen beliebig kombiniere,
Das verstehe ich nicht: 3 x-Lösungen mit 3 y-Lösungen kombiniert ergibt bei mir [mm] $3^2 [/mm] \ = \ 9$ .
Dann bitte mal vorrechnen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:49 So 21.06.2009 | | Autor: | cracker |
ja war ein tippfehler, sry
oh ja stimmt, weiß auch nich wie ich da drauf komme:D
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