Stationäre Punkte bestimmen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Mo 08.03.2010 | | Autor: | NooBPooB |
| Aufgabe | Bestimmen sie alle stationären Punkte der Funktion f:R->R mit
[mm] f(x)=\integral_{-1}^{(x²/2)}{(t-2)e^(-t^2)) dt}
[/mm]
Berechnen sie dazu nicht die Funktion f! Untersuchen Sie weiter, an welchen Stellen Minima bzw Maxima vorliegen. (Ohne Funktionswerte) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.So. Mir geht es bei dieser Aufgabe speziell um die Herangehensweise OHNE die Funktion f zu berechnen. In diesem speziellen Fall wäre das auch relativ schwer, außer man weiß auswendig dass e^-t² integriert sqrtPi/2 ergibt. Wie ich die Aufgabe normalerweise anhand von f löse weiß ich. Allerdings muss es ja noch einen anderen Lösungsweg geben, der vielleicht sogar einfacher ist?
Über eine allgemeine Herangehensweise wäre ich sehr erfreut. Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Mo 08.03.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo NooBPooB!
Bedenke, dass gilt:
$$f(x) \ = \ [mm] \integral_a^x{g(t) \ dt} [/mm] \ = \ G(x)-G(a)$$
Damit kannst Du auch wieder die Ableitung (evtl. unter Beachtung der  Kettenregel) berechnen.
Schließlich gilt wieder $G'(x) \ = \ g(x)$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Mo 08.03.2010 | | Autor: | NooBPooB |
So ganz verstehen tue ich das leider aber immernoch nicht :(.
Ich zeige dir jetzt mal was ich gerechnet habe und hoffe du sagst mir was falsch ist, bzw hilfst mir bei meinen weiteren Problemen :). :
Die Funktion ist ja:
f(x)= [mm] \integral_{-1}^{x²/2}{(t-2)e^(-t^2) dt}
[/mm]
Nun sage ich: g(x)= [mm] \integral_{-1}^{x/2}{(t-2)e^(-t^2) dt}
[/mm]
und [mm] h(x)=x^2/2
[/mm]
dann ist g´(x)= [mm] (x/2-2)e^{-x^2/4} [/mm] (Die konstante ging ja verloren)
und h´(x)=x
Somit wäre f´(x)= (x²/4-2)e^(x^(4/16))*x
Somit wäre die Funktion bei -2,2 und 0 = 0 und damit würden meine Minima/Maxima an diesen Stellen liegen oder?
Das Problem ist, dass ich (sofern ich es richtig gemacht habe, nur Stumpf die Vorgehensweise wie ich sie vor mir habe benutzt habe, ohne jegliches Verständnis warum man das so machen kann. So kann ich mir das viel schlechter merken und auch nicht herleiten.)
Schade, irgendwie ist der Groschen bei mir immernoch nicht wirklich gefallen :(.
Irgendwie krieg ich den Quelltext nicht so hin dass er bei mir richtig dargestellt wird...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Mo 08.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> f(x)= [mm]\integral_{-1}^{x²/2}{(t-2)e^(-t^2) dt}[/mm]
Schreibe bitte das ^2 genau so, sonst geht es hops - also kein ² sondern ^2.
> Nun sage ich: g(x)= [mm]\integral_{-1}^{x/2}{(t-2)e^(-t^2) dt}[/mm]
>
> und [mm]h(x)=x^2/2[/mm]
>
> dann ist g´(x)= [mm](x/2-2)e^{-x^2/4}[/mm] (Die konstante ging ja
> verloren)
> und h´(x)=x
>
> Somit wäre f´(x)= (x²/4-2)e^(x^(4/16))*x
Ist da irgendwo das ^2 verloren/zu viel hinzugekommen? Habe das jetzt nicht nachgerechnet, aber:
Also es ist, ganz allgemein: [m]f(x)=\int_1^{h(x)} g(x)=G(h(x))-G(1)[/m], mit G einer Stammfunktion zu g. Differenzieren ergibt dann [m]f'(x)=G'(h(x))*h'(x)=g(h(x))*h*(x)[/m].
SEcki
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