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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Do 28.07.2011 | | Autor: | Carlo |
| Aufgabe | | Betrachten Sie die durch [mm] f(x,y)=x^2+xy+y^2-3x+5, [/mm] (x,y) [mm] \in \IR^2, [/mm] gegebene Funktion. Bestimmen Sie alle stationären Stellen, das heißt alle Stellen, an denen der Gradient (0,0) ist. |
Hallo 
Gradient:
f(x,y)= (2x-2 , 1+2y)
Hesse: [mm] \pmat{ f_x_x & f_x_y \\ f_y_x & f_y_y } [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 }
[/mm]
f(x,y)= (0,0)
2x-2=0
x=1
1+2y=0
y=-0,5
kritischer Punkt: (1,-0,5)
Jetzt müsste ich doch Hesse für (1,-0,5) aufstellen ? Aber iwie habe ich Probleme, ich weiß nicht, was ich wo einsetzen soll :S
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Hallo Carlo,
> Betrachten Sie die durch [mm]f(x,y)=x^2+xy+y^2-3x+5,[/mm] (x,y) [mm]\in \IR^2,[/mm]
> gegebene Funktion. Bestimmen Sie alle stationären Stellen,
> das heißt alle Stellen, an denen der Gradient (0,0) ist.
> Hallo
>
> Gradient:
>
> f(x,y)= (2x-2 , 1+2y)
Den Gradienten mußt Du nochmal nachrechnen.
>
> Hesse: [mm]\pmat{ f_x_x & f_x_y \\ f_y_x & f_y_y }[/mm] = [mm]\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm]
>
> f(x,y)= (0,0)
> 2x-2=0
> x=1
>
> 1+2y=0
> y=-0,5
>
> kritischer Punkt: (1,-0,5)
>
> Jetzt müsste ich doch Hesse für (1,-0,5) aufstellen ?
> Aber iwie habe ich Probleme, ich weiß nicht, was ich wo
> einsetzen soll :S
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Do 28.07.2011 | | Autor: | Carlo |
Ich sehe meinen Fehler nícht, ich komme wieder auf das Gleiche :S
Zunächst muss ich doch nach x ableiten, also 2x+1-3 und auf der rechten Seite nach y, also 1+2y ? :(
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Hallo Carlo,
> Ich sehe meinen Fehler nícht, ich komme wieder auf das
> Gleiche :S
>
> Zunächst muss ich doch nach x ableiten, also 2x+1-3 und
Hier muss doch stehen: [mm]2x+\red{y}-3[/mm]
> auf der rechten Seite nach y, also 1+2y ? :(
Ebenso hier: [mm]\red{x}+2y[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Do 28.07.2011 | | Autor: | Carlo |
Okay. Nun habe ich als Hesse Matrix
[mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 } [/mm] ist das korrekt ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Do 28.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Okay. Nun habe ich als Hesse Matrix
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 }[/mm] ist das korrekt ?
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Do 28.07.2011 | | Autor: | Carlo |
Jetzt habe ich doch den kritischen Punkt (2,-1) vorliegen und muss das in die Hesse Matrix einsetzen, um zu sehen, ob es sich um ein lokales Minimum, lok. Maximum oder um einen Sattelpunkt handelt oder ?
Also [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 }
[/mm]
Nun gilt doch, positiv definit, wenn a>0 und a*c > [mm] b^2
[/mm]
--> 2>0 und 2*2=4 > [mm] (1^2) [/mm] = 1 , also liegt ein lokales Maximum vor ?!?
Wann muss man eine Fallunterscheidung machen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Do 28.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Jetzt habe ich doch den kritischen Punkt (2,-1) vorliegen
> und muss das in die Hesse Matrix einsetzen, um zu sehen, ob
> es sich um ein lokales Minimum, lok. Maximum oder um einen
> Sattelpunkt handelt oder ?
Ja
>
> Also [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 }[/mm]
>
>
> Nun gilt doch, positiv definit, wenn a>0 und a*c > [mm]b^2[/mm]
>
> --> 2>0 und 2*2=4 > [mm](1^2)[/mm] = 1 , also liegt ein lokales
> Maximum vor ?!?
Nein. Ein lokales Minimum.
>
>
> Wann muss man eine Fallunterscheidung machen ?
Was meinst Du damit ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Do 28.07.2011 | | Autor: | Carlo |
Achso, ich habe mich vertippt :S Aber die Vorgehensweise ist richtig oder wie ? Mit a >0 und a*c > [mm] b^2 [/mm] ? Die Matrix sieht ja so aus:
[mm] \pmat{ a & b \\ b & c } [/mm] muss ich dann b*b rechnen und das Ergebnis zum Quadrat nehmen ?
> >
> > Wann muss man eine Fallunterscheidung machen ?
>
> Was meinst Du damit ?
>
> FRED
>
Wir hatten mal in der Vorlesung eine andere Aufgabe mit einer Fallunterscheidung gelöst, wobei es doch bei einer 2x2 Matrix doch einfacher ist so vorzugehen oder ?
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Hallo Carlo,
> Achso, ich habe mich vertippt :S Aber die Vorgehensweise
> ist richtig oder wie ? Mit a >0 und a*c > [mm]b^2[/mm] ? Die Matrix
> sieht ja so aus:
>
> [mm]\pmat{ a & b \\
b & c }[/mm] muss ich dann b*b rechnen und das
> Ergebnis zum Quadrat nehmen ?
Welches Ergebnis willst du zum Quadrat nehmen?!
Du solltest erstmal deine Gedanken ordnen und klar formulieren, was du willst!
Die Bedingung [mm]ac>b^2[/mm] ist äquivalent zu der Bedingung [mm]\operatorname{det}(H)>0[/mm] (H die Hessematrix im fraglichen Punkt)
Die ist im allg. Fall [mm]ac-b^2[/mm] und [mm]ac-b^2>0\gdw ac>b^2[/mm]
>
>
>
> > >
> > > Wann muss man eine Fallunterscheidung machen ?
> >
> > Was meinst Du damit ?
> >
> > FRED
> >
>
> Wir hatten mal in der Vorlesung eine andere Aufgabe mit
> einer Fallunterscheidung gelöst,
Aha, das hilft uns sehr, gut, dass wir auch in der Vorlesung waren und nun genau wissen, was du meinst ...
> wobei es doch bei einer
> 2x2 Matrix doch einfacher ist so vorzugehen oder ?
Dieses "Kriterium" [mm]a>0[/mm] und [mm]ac>b^2[/mm] ist nichts anderes als das "Hauptminorenkriterium".
Du berechnest alle (hier alle beide) Hauptunterdeterminanten und wenn beide positiv sind, so ist die Matrix neg. definit.
Hier im [mm]2\times 2[/mm]-Fall sind diese Hauptunterdeterminanten [mm]a[/mm] und [mm]ac-b^2[/mm].
Das sind die Determinanten der Hauptuntermatrizen (nennt man die so?)
1) [mm]\pmat{a}[/mm] --> [mm]\operatorname{det}(\pmat{a})=a[/mm]
2) [mm]\pmat{a&b\\
b&c}[/mm] --> [mm]\operatorname{det}\left(\pmat{a&b\\
b&c}\right)=ac-b^2[/mm]
Für Matrizen größeren Formats sind weitere Hauptunterdet. zu berechnen, da geht dieses "Schnellkrit." [mm]a>0[/mm] und [mm]ac>b^2[/mm] nicht ...
Gruß
schachuzipus
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