www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Stationärer Punkt
Stationärer Punkt < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Stationärer Punkt: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:31 Do 13.01.2011
Autor: monstre123

Aufgabe
Sei [mm] f(x,y)=3x^{2}-xy+2y^{2}+\bruch{1}{2}sin^{2}xcos^{2}y [/mm]

Zeigen Sie , dass [mm] z\*=\pmat{ 0 \\ 0 } [/mm] ein stabiler stationärer Punkt von z'=-gradient f(z) , [mm] z(0)=z_{0} [/mm] , [mm] z=\pmat{ x(t) \\ y(t) } [/mm] ist (dieser ist sogar der einzige).

Hallo,

ich brauche eine kleine Idee wie ich anfangen könnte.

Danke vielmals.

        
Bezug
Stationärer Punkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:59 Do 13.01.2011
Autor: fred97


> Sei [mm]f(x,y)=3x^{2}-xy+2y^{2}+\bruch{1}{2}sin^{2}xcos^{2}y[/mm]
>  
> Zeigen Sie , dass [mm]z\*=\pmat{ 0 \\ 0 }[/mm] ein stabiler
> stationärer Punkt von z'=-gradient f(z) , [mm]z(0)=z_{0}[/mm] ,
> [mm]z=\pmat{ x(t) \\ y(t) }[/mm] ist (dieser ist sogar der
> einzige).
>  Hallo,
>  
> ich brauche eine kleine Idee wie ich anfangen könnte.

ich würde so anfangen: Definitionen raussuchen und aufschreiben. Mach das mal.

FRED

>  
> Danke vielmals.


Bezug
                
Bezug
Stationärer Punkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:25 Fr 14.01.2011
Autor: monstre123

Ist [mm] f(x)=\bruch{1}{2}sin^{2}xcos^{2}y [/mm] nach x abgeleitet folgendes:

[mm] f_{x}=\bruch{1}{2}sin^{2}cos^{2}y [/mm]  ?

Bezug
                        
Bezug
Stationärer Punkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:30 Fr 14.01.2011
Autor: fred97


> Ist [mm]f(x)=\bruch{1}{2}sin^{2}xcos^{2}y[/mm] nach x abgeleitet
> folgendes:
>  
> [mm]f_{x}=\bruch{1}{2}sin^{2}cos^{2}y[/mm]  ?

Nein. leite mal zunächst [mm] (sin(x))^2 [/mm] nach x ab .

FRED


Bezug
                                
Bezug
Stationärer Punkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:43 Fr 14.01.2011
Autor: monstre123


> > Ist [mm]f(x)=\bruch{1}{2}sin^{2}xcos^{2}y[/mm] nach x abgeleitet
> > folgendes:
>  >  
> > [mm]f_{x}=\bruch{1}{2}sin^{2}cos^{2}y[/mm]  ?
>
> Nein. leite mal zunächst [mm](sin(x))^2[/mm] nach x ab .

also [mm](sin(x))^2[/mm]=-2cos(x)

korrekt?


Bezug
                                        
Bezug
Stationärer Punkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:45 Fr 14.01.2011
Autor: fred97


> > > Ist [mm]f(x)=\bruch{1}{2}sin^{2}xcos^{2}y[/mm] nach x abgeleitet
> > > folgendes:
>  >  >  
> > > [mm]f_{x}=\bruch{1}{2}sin^{2}cos^{2}y[/mm]  ?
> >
> > Nein. leite mal zunächst [mm](sin(x))^2[/mm] nach x ab .
>  
> also [mm](sin(x))^2[/mm]=-2cos(x)
>
> korrekt?

Nein. Für die Ableitung von   [mm] (sin(x))^2 [/mm]  bemühe die Produktregel oder die Kettenregel und stochere nicht im Nebel. Mathematik ist kein heiteres Funktionenraten.

FRED

>  


Bezug
                                                
Bezug
Stationärer Punkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:00 Fr 14.01.2011
Autor: monstre123


> > > > Ist [mm]f(x)=\bruch{1}{2}sin^{2}xcos^{2}y[/mm] nach x abgeleitet
> > > > folgendes:
>  >  >  >  
> > > > [mm]f_{x}=\bruch{1}{2}sin^{2}cos^{2}y[/mm]  ?
> > >
> > > Nein. leite mal zunächst [mm](sin(x))^2[/mm] nach x ab .
>  >  
> > also [mm](sin(x))^2[/mm]=-2cos(x)
> >
> > korrekt?
>  
> Nein. Für die Ableitung von   [mm](sin(x))^2[/mm]  bemühe die
> Produktregel oder die Kettenregel und stochere nicht im
> Nebel. Mathematik ist kein heiteres Funktionenraten.
>  

ich war mir nicht sicher, ob dieser trick klappt. normalerweise macht man es doch so,dass man den Exponenten runterschreibt und den Exponenten danach um eins erniedrigt:
[mm] sin^{2}(x)=2sin(x) [/mm]
als nächstes leitet man die innere funktion ab, die ja x ist:
2*sin(x)=2*sin(x)*1
und so kam ich auf das ergebnis, was ja falsch ist...hmmm...

naja, dann mache ich es eben auf die billige art:

[mm] f(x)=sin^{2}(x)=sin(x)*sin(x) [/mm]

f'(x)=cos(x)*sin(x)+sin(x)*cos(x)=2sin(x)cos(x)

korrekt?^^

wie würde ich es den ableiten wenn ich [mm] sin^{5}(x) [/mm] hätte?


P.S.: Fred just chill, man. ich hoffe, dass du kein lehrer bist ;)

Bezug
                                                        
Bezug
Stationärer Punkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:05 Fr 14.01.2011
Autor: schachuzipus

Hallo monstre,



>
> ich war mir nicht sicher, ob dieser trick klappt.
> normalerweise macht man es doch so,dass man den Exponenten
> runterschreibt und den Exponenten danach um eins
> erniedrigt:
> [mm]sin^{2}(x)=2sin(x)[/mm]
>  als nächstes leitet man die innere funktion ab, die ja x
> ist: [notok]

Die innere Funktion ist doch wohl [mm] $\sin(x)$ [/mm] !!!

Es ist - wie Fred schon schrieb und wie du fortwährend geschmeidig ignorierst - [mm] $\sin^2(x)=\left[\sin(x)\right]^2$ [/mm]

Äußere Funktion [mm] $y^2$, [/mm] innere [mm] $\sin(x)$ [/mm]

>  2*sin(x)=2*sin(x)*1
>  und so kam ich auf das ergebnis, was ja falsch
> ist...hmmm...

Warum wohl?

>  
> naja, dann mache ich es eben auf die billige art:
>
> [mm]f(x)=sin^{2}(x)=sin(x)*sin(x)[/mm]
>  
> f'(x)=cos(x)*sin(x)+sin(x)*cos(x)=2sin(x)cos(x)
>  
> korrekt?^^ [ok]

Vergleiche mal mit dem Ergebnis, das du bei richtiger Anwendung der Kettenregel erhältst ...

>  
> wie würde ich es den ableiten wenn ich [mm]sin^{5}(x)[/mm] hätte?

Umschreiben und Kettenregel: [mm] $g(x)=\sin^5(x)=\left[\sin(x)\right]^5$ [/mm]

Also [mm] $g'(x)=\underbrace{5\cdot{}\left[\sin(x)\right]^{5-1}}_{\text{innere Abl.}}\cdot{}\underbrace{\cos(x)}_{\text{innere Abl.}}$ [/mm]

>
>
> P.S.: Fred just chill, man. ich hoffe, dass du kein lehrer
> bist ;)

Wer wollte das heutzutage noch sein??

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                                
Bezug
Stationärer Punkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:09 Fr 14.01.2011
Autor: fred97


> Hallo monstre,
>  
>
>
> >
> > ich war mir nicht sicher, ob dieser trick klappt.
> > normalerweise macht man es doch so,dass man den Exponenten
> > runterschreibt und den Exponenten danach um eins
> > erniedrigt:
> > [mm]sin^{2}(x)=2sin(x)[/mm]
>  >  als nächstes leitet man die innere funktion ab, die ja
> x
> > ist: [notok]
>  
> Die innere Funktion ist doch wohl [mm]\sin(x)[/mm] !!!
>  
> Es ist - wie Fred schon schrieb und wie du fortwährend
> geschmeidig ignorierst - [mm]\sin^2(x)=\left[\sin(x)\right]^2[/mm]
>  
> Äußere Funktion [mm]y^2[/mm], innere [mm]\sin(x)[/mm]
>  
> >  2*sin(x)=2*sin(x)*1

>  >  und so kam ich auf das ergebnis, was ja falsch
> > ist...hmmm...
>  
> Warum wohl?
>  
> >  

> > naja, dann mache ich es eben auf die billige art:
> >
> > [mm]f(x)=sin^{2}(x)=sin(x)*sin(x)[/mm]
>  >  
> > f'(x)=cos(x)*sin(x)+sin(x)*cos(x)=2sin(x)cos(x)
>  >  
> > korrekt?^^ [ok]
>  
> Vergleiche mal mit dem Ergebnis, das du bei richtiger
> Anwendung der Kettenregel erhältst ...
>  
> >  

> > wie würde ich es den ableiten wenn ich [mm]sin^{5}(x)[/mm] hätte?
>
> Umschreiben und Kettenregel:
> [mm]g(x)=\sin^5(x)=\left[\sin(x)\right]^5[/mm]
>  
> Also
> [mm]g'(x)=\underbrace{5\cdot{}\left[\sin(x)\right]^{5-1}}_{\text{innere Abl.}}\cdot{}\underbrace{\cos(x)}_{\text{innere Abl.}}[/mm]
>  
> >
> >
> > P.S.: Fred just chill, man. ich hoffe, dass du kein lehrer
> > bist ;)
>
> Wer wollte das heutzutage noch sein??


Ich kenne viele, die es werden wollen ...

FRED

>  
> Gruß
>  
> schachuzipus
>  


Bezug
                                                        
Bezug
Stationärer Punkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:08 Fr 14.01.2011
Autor: fred97


> > > > > Ist [mm]f(x)=\bruch{1}{2}sin^{2}xcos^{2}y[/mm] nach x abgeleitet
> > > > > folgendes:
>  >  >  >  >  
> > > > > [mm]f_{x}=\bruch{1}{2}sin^{2}cos^{2}y[/mm]  ?
> > > >
> > > > Nein. leite mal zunächst [mm](sin(x))^2[/mm] nach x ab .
>  >  >  
> > > also [mm](sin(x))^2[/mm]=-2cos(x)
> > >
> > > korrekt?
>  >  
> > Nein. Für die Ableitung von   [mm](sin(x))^2[/mm]  bemühe die
> > Produktregel oder die Kettenregel und stochere nicht im
> > Nebel. Mathematik ist kein heiteres Funktionenraten.
>  >  
>
> ich war mir nicht sicher, ob dieser trick klappt.
> normalerweise macht man es doch so,dass man den Exponenten
> runterschreibt und den Exponenten danach um eins
> erniedrigt:
> [mm]sin^{2}(x)=2sin(x)[/mm]
>  als nächstes leitet man die innere funktion ab, die ja x
> ist:
>  2*sin(x)=2*sin(x)*1
>  und so kam ich auf das ergebnis, was ja falsch
> ist...hmmm...
>  
> naja, dann mache ich es eben auf die billige art:
>
> [mm]f(x)=sin^{2}(x)=sin(x)*sin(x)[/mm]
>  
> f'(x)=cos(x)*sin(x)+sin(x)*cos(x)=2sin(x)cos(x)
>  
> korrekt?^^
>  
> wie würde ich es den ableiten wenn ich [mm]sin^{5}(x)[/mm] hätte?
>
>
> P.S.: Fred just chill, man.

...........  man spricht deutsch .... ??

> ich hoffe, dass du kein lehrer
> bist ;)

ich bin Hochschullehrer, Pech gehabt.

FRED


Bezug
                                                                
Bezug
Stationärer Punkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:43 Fr 14.01.2011
Autor: monstre123


> > > > > > Ist [mm]f(x)=\bruch{1}{2}sin^{2}xcos^{2}y[/mm] nach x abgeleitet
> > > > > > folgendes:
>  >  >  >  >  >  
> > > > > > [mm]f_{x}=\bruch{1}{2}sin^{2}cos^{2}y[/mm]  ?
> > > > >
> > > > > Nein. leite mal zunächst [mm](sin(x))^2[/mm] nach x ab .
>  >  >  >  
> > > > also [mm](sin(x))^2[/mm]=-2cos(x)
> > > >
> > > > korrekt?
>  >  >  
> > > Nein. Für die Ableitung von   [mm](sin(x))^2[/mm]  bemühe die
> > > Produktregel oder die Kettenregel und stochere nicht im
> > > Nebel. Mathematik ist kein heiteres Funktionenraten.
>  >  >  
> >
> > ich war mir nicht sicher, ob dieser trick klappt.
> > normalerweise macht man es doch so,dass man den Exponenten
> > runterschreibt und den Exponenten danach um eins
> > erniedrigt:
> > [mm]sin^{2}(x)=2sin(x)[/mm]
>  >  als nächstes leitet man die innere funktion ab, die ja
> x
> > ist:
>  >  2*sin(x)=2*sin(x)*1
>  >  und so kam ich auf das ergebnis, was ja falsch
> > ist...hmmm...
>  >  
> > naja, dann mache ich es eben auf die billige art:
> >
> > [mm]f(x)=sin^{2}(x)=sin(x)*sin(x)[/mm]
>  >  
> > f'(x)=cos(x)*sin(x)+sin(x)*cos(x)=2sin(x)cos(x)
>  >  
> > korrekt?^^
>  >  
> > wie würde ich es den ableiten wenn ich [mm]sin^{5}(x)[/mm] hätte?
> >
> >
> > P.S.: Fred just chill, man.
>
> ...........  man spricht deutsch .... ??
>  
> > ich hoffe, dass du kein lehrer
> > bist ;)
>
> ich bin Hochschullehrer, Pech gehabt.

ist ja der hammer, hätte ich im traum nicht gedacht^^

>  
> FRED
>  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de