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| Aufgabe | Hi @ll!!
In der Aufgabe geht es um ein Unternehmen, dass Zwischenprodukte auf zwei Produktionsanlagen -A und B- zu gleichen Teilen herstellt. Die neue Produktionsanlage A hat einen Ausschuss von 25% und die alte Produktionsanlage B hat einen Ausschuss von 50%.
Die in einer Produktionsanlage hergestellen Artikel werden zu mehreren tausend Stück in Kisten verpackt und in dieser Stückelung ihrer Herkunft entsprechend als Qualität A bzw. B - zu unterschiedlichen Preisen- an das weiterverarbeitende Gewerbe verkauft.
In der Versandstelle wird festgestellt, dass eine Kiste hinsichtlich der Qualität nicht gekennzeichnet ist. Die Herkunft der Kiste ist nicht mehr zu klären.
Nun gibt es folgende Fehlermöglichkeiten:
Fehler 1. Art: Die Kiste wird fälschlicherweise als gute Qualität A verkauft, obwohl sie nur von minderer Qualität B ist. Das Unternehmen muss dann aufgrund von Schadenersatzforderungen und Konventionalstrafen mit einem Verlust von 10.000 rechnen.
Fehler 2. Art: Die Kiste wird fälschlicherweise als mindere Qualität B verkauft, obwohl sie von guter Qualität A ist. So entsteht aufgrund des geringeren Verkaufspreises für Qualität B bei höheren Produktionskosten der Anlage A ein Verlust von 1.000.
Nun geht es um ein Entscheidungsverfahren ohne Prüfung.
Ziel des gesuchten Entscheidungsverfahrens:
Die Durchschnittsverluste sollen möglichst gering sein
Der Erwartungswert E(V) der Verlust-Zufallsvariablen V soll möglichst klein sein
Voraussetzungen:
Auf den Produktionsanlagen A und B wird zu gleichen Teilen produziert
Mit gleicher Wahrscheinlichkeit stammt die Kiste also aus Produktionsanlage A wie aus Produktionsanlage B
[mm] H_{0}= [/mm] Es liegt Qualität B vor
[mm] H_{1}= [/mm] Es liegt Qualität A vor
A-priori-Wahrscheinlichkeit (von lateinisch a priori: vom Früheren her):
[mm] P(H_{0}) [/mm] = [mm] P(H_{1}) [/mm] = 0,5
Es gibt also zwei verschiedene Entscheidungsverfahren:
H = Hypothese
1) [mm] H_{0} [/mm] = Wir verkaufen die Kiste ohne Prüfung immer als Qualität B
Verlust von 1.000 bei einem Fehler 2. Art [mm] (H_{1} [/mm] ist wahr, die Artikel entsprechen also Qualität A)
Der Verlusterwartungswert (in ) entspricht demnach:
E(V) = [mm] P(H_{1})*1.000 [/mm] = 0,5*1.000 = 500
2) [mm] H_{1} [/mm] = Wir verkaufen die Kiste ohne Prüfung immer als Qualität A
Verlust von 10.000 bei einem Fehler 1. Art [mm] (H_{0} [/mm] ist wahr, die Artikel entsprechen also Qualität B)
Der Verlusterwartungswert (in ) entspricht demnach:
E(V) = [mm] P(H_{0})*10.000 [/mm] = 0,5*10.000 = 5.000
Die erste Entscheidungsstrategie lässt also auf lange Sicht einen deutlich geringeren Verlust erwarten.
Aufgabe:
Wie müssten - im Unterschied zu der gegebenen Problemstellung- die A-priori-Wahrscheinlichkeiten der Hypothesen aussehen - also die relative Verteilung der Produktion auf die beiden Anlagen A und B -, damit der ungeprüfte Verkauf als Qualität A günstiger wäre als der ungeprüfte Verkauf als Qualität B.
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Um den Verlusterwartungswert zu verringern, müsste ich die A-priori-Wahrscheinlichkeiten ja nun niedriger setzen.
Also zum Beispiel:
E(V) = [mm] P(H_{0})*10.000 [/mm] = 0,5*10.000 = 5.000
E(V) = [mm] P(H_{0})*10.000 [/mm] = 0,2*10.000 = 2.000
Somit würde der Verlust (Fehler 1. Art) geringer werden, wenn eine Kiste mit Qualität B fälschlichlichweise als Qualität A verkauft wird.
Doch wie bekomme ich das nun genau ausgerechnet?
Mein Lehrer hatte mir den Tip gegeben, dass man in beide Gleichungen eine Variable (also ein x oder so) einsetzen muss. Dann soll man die Gleichungen gleichsetzen und nach x auflösen.
Man bekommt dann doch eine Menge dabei heraus, oder? Aber was sagt das Ergebnis denn dann aus??
Habe schon versucht in die Gleichungen ein x einzusetzen, sie gleichzusetzen und nach x aufzulösen. Aber egal wie ich es angestellt habe, es kamen immer nur Werte wie 1 oder 0,5 dabei heraus... =(
Was mache ich falsch??
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe...
Viele Grüße DarkAngel
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Hallo DarkAngel,
die Kiste stammt mit der Wahrscheinlichkeit $p$ von Maschine A, d.h. mit der Wahrscheinlichkeit $1-p$ von Maschine B. Bei der bisherigen Betrachtung war $p=q=0.5$.
Die Verluste waren:
[mm] $p\cdot [/mm] 1000$ bei einem Fehler 2. Art
bzw.
[mm] $q\cdot [/mm] 10000$ bei einem Fehler 1. Art
Die Verluste sind gleich, wenn $1000p=10000(1-p)$.
Es ist klar, dass man keinen Fehler 1. Art machen kann, wenn p=1 ist, d.h. wenn alle Kisten von Maschine A produziert werden. Du sollst also herausfinden, zu welchem Anteil die Produktion auf Maschine A stattfinden muss (anstelle von 50%), damit es ausreichend wenige minderwertige Produkte gibt und man mit einem entsprechend geringen Risiko die hohe Strafe zahlen muss.
Hugo
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Hey @ll!!
Das hatte ich ja soweitverstanden... Meine Frage war jetzt nur wie ich die beiden Formeln gleichsetzen kann, damit ich ein konkretes Ergebnis bekomme.
Meine Versuche waren:
Ich gehe von folgenden Gleichungen aus:
E(V) = [mm] P(H_{1})*1.000 [/mm] = 0,5*1.000 = 500
und
E(V) = [mm] P(H_{0})*10.000 [/mm] = 0,5*10.000 = 5.000
Also habe ich versucht diese gleichzusetzen..
Einmal: 0,5*1.000x=500 |*(-1)
0,5*10.000x=5.000
-0,5*(-1.000)x=-500
0,5*10.000x=5.000
9.000x = 4500
x = 0,5
Kann man das so machen?? Und wenn ja was sagt mir diese 0,5 dann aus?? Blicke da net so ganz durch.. =(
Vielen Dank im Voraus!
Viele Grüße DarkAngel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:04 Fr 13.01.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo DarkAngel,
> Meine Versuche waren:
>
> Ich gehe von folgenden Gleichungen aus:
> E(V) = [mm]P(H_{1})*1.000[/mm] = 0,5*1.000 = 500
> und
> E(V) = [mm]P(H_{0})*10.000[/mm] = 0,5*10.000 = 5.000
Ja, aber in deiner Teilaufgabe hast du ja die a-priori Wahrscheinlichkeiten [mm] $P(H_0)$ [/mm] und [mm] $P(H_1)$ [/mm] nicht gegeben, sondern sollst eine Aufteilung der Produktion auf die Maschinen finden (d.h. so sollst [mm] $P(H_0)$ [/mm] und [mm] $P(H_1)$ [/mm] bestimmen), so dass gilt:
Verlusterwartung bei Verkauf als "A" [mm] ($=E(V_1)$) [/mm] <
Verlusterwartung bei Verkauf als "B" [mm] ($=E(V_2)$).
[/mm]
Also:
[mm]E(V_1)=P(H_{0}) \cdot 10000 < E(V_2) = P(H_{1})*1000[/mm]
wobei du zusätzlich weißt, dass [mm] $P(H_0) [/mm] + [mm] P(H_1) [/mm] = 1$.
Du kannst also in der Gleichung darüber [mm] $P(H_1)$ [/mm] ersetzen durch [mm] $1-P(H_0)$. [/mm] Dann ist eben [mm] $P(H_0)$ [/mm] deine Variable, quasi dein "$x$".
Hilft dir das weiter?
Viele Grüße
Astrid
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