Steckbriefaufgabe < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Die Normale mit der Gleichung [mm] f(x)=\bruch{5}{3}x-\bruch{5}{3} [/mm] schneidet den Graphen einer Funktion dritten Grades bei [mm] x_{1}=1. [/mm] Wie lautet die Funktio, wenn ihr Graph bei [mm] x_{2}=\bruch{2}{3} [/mm] eine Wendestelle hat und bei [mm] x_{3} [/mm] = -2 eine Nullstelle |
Hi Leute!
[mm] y=a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x
[/mm]
[mm] y'=3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1} [/mm]
[mm] y''=6a_{3}+2a_{2}
[/mm]
Also 2 Argumente hab ich gefunden:
[mm] y''(\bruch{2}{3})=0 [/mm] (1) [mm] 0=4a_{3}+2a_{2}
[/mm]
y(-2)=0 (2) [mm] 0=-8a_{3}+4a_{2}-2a_{1}+a_{0}
[/mm]
Aber was soll mir den der erste Satz genauer gesagt sagen???
Ich verstehe das nicht, bzw finde da keine Ansätze für Argumente!
Bitte help... Thx leute! mfg beere
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo!
Aus dem ersten Satz kannst du sogar zwei Aussagen gewinnen! Da sich $f(x)$ und der gesuchte Graph bei [mm] $x_1 [/mm] = 1$ schneiden, kennst du doch einen weiteren Punkt, der auf dem Graphen liegt.
Zusätzlich kennst du für diese Stelle sogar noch die Steigung des gesuchten Graphen! Dazu solltest du einen Zusammenhang zwischen der Normalen des Graphen an einer Stelle und zwischen der Steigung des Graphen an derselben Stelle kennen. Das habt ihr bestimmt im Unterricht besprochen. Dir ist übrigends noch ein kleiner Flüchtigkeitsfehler bei der allgemeinen Form von $y$ unterlaufen:
$$y = [mm] a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$$ ($a_0$ [/mm] nicht vergessen!)
Viel Glück beim Lösen der Aufgabe!
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | Die Normale mit der Gleichung [mm] f(x)=\bruch{5}{3}x-\bruch{5}{3} [/mm] schneidet den Graphen einer Funktion dritten Grades bei [mm] x_{1}=1. [/mm] Wie lautet die Funktio, wenn ihr Graph bei [mm] x_{2}=\bruch{2}{3} [/mm] eine Wendestelle hat und bei [mm] x_{3} [/mm] = -2 eine Nullstelle |
Bisjetz kannte ich nur Normale bei dem Wendepunkt..
Kann ich aus der Normalen-funktion die oben angegeben is die Tangentenfunktion bestimmen?? also ok wenn ich mir vorstelle das der Schnittpunkt ein weitere Punkt ist, der auf diesem Graphen liegt is das logisch aber wie bekomme ich den punkt?? ich kann die doch nicht einfach gleich setzen!^^? Und das ich dann dadurch die Steigung bekomm ist mir halb klar...weil das doch keine Tangente is sondern nur die orthagonale^^..Hmm bitte klärt mich auf, wär super nett...brauch echt bissel mehr hilfe weil ich nicht so oft am matheunterricht teilnehmen konnte...und übrigens hatten wir das im unterricht noch nicht wirklich besprochen...wir haben voll den freak als lehrer!
|
|
|
| |
|
Hallo!
Erst einmal kurz zu dem Schnittpunkt. Da du weißt, dass sich die beiden Graphen an der Stelle [mm] $x_1 [/mm] = 1$ schneiden, kannst du den Funktionswert $f(1)$ einfach bestimmen. Die beiden Graphen schneiden sich also im Punkt $(1; f(1))$.
Nun zu der Normalen:
Nennen wir den gesuchte die Funktion $g(x)$. Dann gibt $g'(x)$ für jede Stelle [mm] $x_n$ [/mm] die Steigung der Tangente am Graphen an dieser Stelle an. Die Steigung der Tangenete lautet dabei [mm] $g'(x_n)$ [/mm] (das folgt aus der Definition über den Differenzenquotienten).
Die Normale ist bekanntlich rechtwinklig zur Tangenten. Zwischen den Steigungen [mm] $m_1$ [/mm] und [mm] $m_2$ [/mm] zweier orthogonal zueinander stehenden Geraden gilt die Beziehung [mm] $m_2 [/mm] = [mm] -\frac{1}{m_1}$ [/mm] (falls keine der beiden Geraden parallel zur x-Achse ist; damit wäre die andere nämlich parallel zur y-Achse). Daran wirst du wohl gescheitert sein.
Falls ihr das im Unterricht tatsächlich nicht besprochen habt, erscheint mir diese Aufgabe relativ sinnlos 
Gruß!
|
|
|
| |
|
| Aufgabe |
Kann bitte jemand oder du mal kurz das beantworten^^? thx! |
[mm] y=a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}
[/mm]
[mm] y'=3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1} [/mm]
[mm] y''=6a_{3}+2a_{2}
[/mm]
Also 2 Argumente hab ich gefunden:
[mm] y''(\bruch{2}{3})=0 [/mm] (1) [mm] 0=4a_{3}+2a_{2}
[/mm]
y(-2)=0 (2) [mm] 0=-8a_{3}+4a_{2}-2a_{1}+a_{0}
[/mm]
Hi du bist echt super....danke für deine tips!!! wirklich...ähm bin jetz echt schlauer als vorher, aber nichts destotrotz könntest du dir mal bitte die Argumente anschauen ob die jetz richtig sind!? DANKE schonmal im voraus, hoffe das is nu richtig!
Also 4 Argumente hab ich gefunden:
[mm] y''(\bruch{2}{3})=0 [/mm] (1) [mm] 0=4a_{3}+2a_{2}
[/mm]
y(-2)=0 (2) [mm] 0=-8a_{3}+4a_{2}-2a_{1}+a_{0}
[/mm]
Neu:
f(x) der Normalen hab ich den Schnittpunkt eingesetz x=1
f(1) = 0 kam raus... und das muss doch jetz der Punkt Sein oder?
den setz ich in die gesuchte ein
(3) [mm] 0=a_{3}+a_{2}+a_{1}+a_{0}
[/mm]
und weil die Steigung in dem Punkt der gesuchten Funktion 3/5 beträgt
muss doch die erste Ableitung an dieser x Stelle die Steigung 3/5 ja haben(richtig?) also
[mm] y'(1)=\bruch{3}{5} [/mm] (4) [mm] \bruch{3}{5}=a_{3}+a_{2}+a_{1}
[/mm]
Also nochmal auf einen Schlag^^
(1) [mm] 0=4a_{3}+2a_{2}
[/mm]
(2) [mm] 0=-8a_{3}+4a_{2}-2a_{1}+a_{0}
[/mm]
(3) [mm] 0=a_{3}+a_{2}+a_{1}+a_{0}
[/mm]
(4) [mm] \bruch{3}{5}=a_{3}+a_{2}+a_{1}
[/mm]
ich hoffe ich diesmal keinen Fehler gemacht *seufz*
mfg Beere
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:23 Di 19.09.2006 | | Autor: | hase-hh |
hallo loddar,
die erste ableitung von
y = [mm] a_{3} x^3 [/mm] + [mm] a_{2} x^2 [/mm] + [mm] a_{1} [/mm] x + [mm] a_0
[/mm]
ist meines Wissens
y' = 3 [mm] a_{3} x^2 [/mm] + 2 [mm] a_{2} [/mm] x + [mm] a_{1}
[/mm]
und für x=1
y' = 3 [mm] a_{3} [/mm] + 2 [mm] a_{2} [/mm] + [mm] a_{1}
[/mm]
und weiter
- [mm] \bruch{3}{5} [/mm] = 3 [mm] a_{3} [/mm] + 2 [mm] a_{2} [/mm] + [mm] a_{1}
[/mm]
gruss
wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:26 Di 19.09.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Wolfgang!
Damit hast Du natürlich Recht ... ich hatte in meiner beschränkten Sichtweise nur das Vorzeichen im Blick!
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | Die Normale mit der Gleichung [mm] f(x)=\bruch{5}{3}x-\bruch{5}{3} [/mm] schneidet den Graphen einer Funktion dritten Grades bei [mm] x_{1}=1. [/mm] Wie lautet die Funktio, wenn ihr Graph bei [mm] x_{2}=\bruch{2}{3} [/mm] eine Wendestelle hat und bei [mm] x_{3} [/mm] = -2 eine Nullstelle |
aloa he!
Ich bin bei Blaubeere mit in der Klasse.. und ich scheitere grad an der gleichen Aufgabe..
Was ich bissher gerechnet habe:
1. [mm] y=a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}
[/mm]
2. [mm] y'=3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}
[/mm]
3. [mm] y''=6a_{3}+2a_{2} [/mm]
3 Hinweise:
-> Punkt bei P(1/1)
-> Wendestelle bei x= [mm] \bruch{2}{3} [/mm] -> f''(x)=0
-> Nullstelle x= -2 -> f(x)=0
(1) [mm] 1=a_{3}+a_{2}+a_{1}+a_{0}
[/mm]
(2) [mm] 0=6a_{3}*\bruch{2}{3}+a_{2}*\bruch{2}{3}
[/mm]
(3) [mm] 0=a_{3}*(-2)^3+a_{2}*(-2)^2+a_{1}*(-2)+a_{0}
[/mm]
--------------------
(1)-(3) [mm] 1=9a_{3}-3a_{2}+3a_{1}
[/mm]
->(4) [mm] \bruch{1}{3}=3a_{3}-a_{2}+a_{1}
[/mm]
und nu weiß ich nicht mehr weiter, weil ich das [mm] a_{1} [/mm] nicht raus bekomme... was übersehe ich?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:00 Mo 18.09.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin, was mir dazu einfällt:
im prinzip brauchst du vier gleichungen, da du vier unbekannte (a3,a2,a1,a0) hast.
wenn die normale f( x) mit der gesuchten funktion y den punkt (1;y(1)) gemeinsam hat, gilt:
f(1)=y(1)
[mm] \bruch{5}{3}*1 [/mm] - [mm] \bruch{5}{3} [/mm] = a3 + a2 + a1 + a0
0 = a3 +a2 + a1 + a0
die zweite ableitung von y ist:
y'' = 6 a3 x + 2a2
d.h. Wendestelle x= [mm] \bruch{2}{3} [/mm] =>
y'' = 6 a3 * [mm] \bruch{2}{3} [/mm] + 2a2
0 = 4 a3 + 2 a2
nullstelle von y bei x=-2 bedeutet:
0 = [mm] a3*(-2)^3 [/mm] + [mm] a2*(-2)^2 [/mm] + a1*(-2) + a0
0 = -8a3 + 4a2 - 2a1 + a0
fehlt noch die vierte gleichung. mithilfe der steigung an der stelle x=1 der normalen (m1) kann ich die steigung (m2) der funktion y errechnen
m1*m2 = -1 [weil die normale senkrecht auf y steht in 1!]
[mm] \bruch{5}{3} [/mm] * m2 = -1
m2= - [mm] \bruch{3}{5}
[/mm]
=> y'(1)=m2
y'(1)= [mm] 3a3*1^2 [/mm] + 2a2*1 + a1
- [mm] \bruch{3}{5} [/mm] = [mm] 3a3*1^2 [/mm] + 2a2*1 + a1
dann hast du vier gleichungen...
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Vorzeichenfehler: Damit die Geraden senkrecht aufeinaderstehen, muss zwischen Normalensteigung [mm] $m_n$ [/mm] und Tangentensteigung [mm] $m_t [/mm] \ = \ f'(1)$ gelten:
