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| Aufgabe | | Das Schaubild einer ganzrationale Funktion 4.Grades ist symmetrisch zur y-Achse und hat bei x=2 eine Nullstelle. Bei x=0 und bei x=2 hat Kf Extremstellen. Bestimmen Sie den Funktionsterm. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Für die Nullstelle kommt doch 16a+4b+c heraus, weil auf Grund der Symmetrie nur gerade Exponenten vorkommen, oder?
Bei den Extremstellen habe ich mit der ersten Ableitung 32a+4b=0 herausbekommen, aber mit der 2. Extremstelle bei x=0 komme ich nicht weiter. Setze ich x=0 in die erste Ableitung und setze diese dann null, bekomme ich 0=0 heraus, aber damit kann ich nichts anfangen. Könnt ihr mir vielleicht helfen, den 3. Term zu finden?
Wenn ich den dann habe, muss ich nur noch ein Gleichungssystem aufstellen, oder? Mit 3 Variablen brauche ich doch 3 Terme, oder?
Danke schon mal!
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Hallo Schneggelsche,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Du hast Recht: um ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten eindeutig lösen zu können, benötigst Du auch 3 Gleichungen.
Die Angabe "bei x = 0 Extremum" ist hier leider wenig hilfreich, da dies für symmetrische ganzrationale Funktionen 4. Grades automatisch gilt.
Von daher muss im Aufgabentext (ist dieser hier 1:1 abgetippt?) noch eine weitere Information stecken. Oder Du musst hier eine Funktionenschar mit einem Parameter $c_$ bestimmen.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Roadrunner,
Die Aufgabe habe ich 1:1 abgetippt. Ich habe nicht mehr Angaben. und wenn eine Schar gesucht wäre, würde das bestimmt dabei stehen. Die anderen Aufgaben auf dem Arbeitsblatt konnte ich auch lösen und auch da war nach keiner Schar gefragt.
Gibt es vielleicht einen Zusammenhang über den Schnittpunkt mit der y-Achse? Sodass ich eine Aussage machen könnte über den y-Achsenabschnitt zu diesem Extremwert? Als Kurzlösung für die Aufgabe ist [mm] f(x)=0,25x^4-2x^2+4...
[/mm]
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Hallo Schneggelsche und ,
> Hallo Roadrunner,
> Die Aufgabe habe ich 1:1 abgetippt. Ich habe nicht mehr
> Angaben. und wenn eine Schar gesucht wäre, würde das
> bestimmt dabei stehen. Die anderen Aufgaben auf dem
> Arbeitsblatt konnte ich auch lösen und auch da war nach
> keiner Schar gefragt.
> Gibt es vielleicht einen Zusammenhang über den Schnittpunkt
> mit der y-Achse? Sodass ich eine Aussage machen könnte über
> den y-Achsenabschnitt zu diesem Extremwert? Als Kurzlösung
> für die Aufgabe ist [mm]f(x)=0,25x^4-2x^2+4...[/mm]
komisch, wenn die Angabe erst über die Lösung erschlossen werden kann...
| Aufgabe | | Das Schaubild einer ganzrationale Funktion 4.Grades ist symmetrisch zur y-Achse und hat bei x=2 eine Nullstelle. Bei x=0 und bei x=2 hat Kf Extremstellen. Bestimmen Sie den Funktionsterm. |
symmetrisch: [mm] f(x)=ax^4+bx^2+c
[/mm]
(I) Nullstelle: f(2)=0
Extremstellen: f'(0)=0 (liefert keine brauchbare Gleichung) und (II) f'(2)=0 also nur 2 Gleichungen:
(I) 16a+4b+c=0
(II) f'(2)=32a+4b=0
(II) b=-8a in (I) eingesetzt: 16a-32a+c=-16a+c=0 [mm] \Rightarrow [/mm] c:a stehen im Verhältnis 16:4, wie man an der Lösung auch sehen kann.
Aber das ist nicht eindeutig, es könnte auch c:a=48:12 heißen; die Lösung ist eindeutig eine  Funktionenschar:
[mm] f(x)=ax^4+8ax^2+16a [/mm] für jedes neue a gibt's 'ne neue Funktion, die den Kriterien entspricht.
Gruß informix
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