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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 So 19.02.2012 | | Autor: | Matritze |
| Aufgabe | Bestimmmen Sie eine ganzrationale Funktion 3. Grades, deren Graph die angegebenen Eigenschaften hat:
Der Graph hat den Wendepunkt W(1|0). Weitere Nullstellen liegen bei -1 und 3. Die Tangente im Wendepunkt W hat die Steigung -4. |
Bedingungen:
I) f(1)=0
II) f''(1)=0
III) f(-1)=0
IV) f(3)=0
V) f'(1)= -4
Hier nun meine Frage.
Warum muss man auch mit der 5. Bedingung rechnen? Warum reichen in diesem Beispiel nicht die ersten 4 Bedingungen?
Wir habe ja eine Funktion 3. Grades, d.h. 4 Variabeln. Normalerweise müssten ja 4 Bedingungen reichen, aber wenn man hier ohne die 5. Bedingung rechnet, dann kommt man zu keinem Ergebnis.
Woran liegt das? Ist das hier ein spezieller Fall?
Vielen Dank!
Gruß,
Matritze
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Hallo,
wenn du das aus den ersten vier Bedingungen resultierende LGS zu lösen versuchst, so wirst du feststellen, dass es eine lineare Unabhängigkeit enthält, also unendlich viele Lösungen besitzt. Die praktische Notwendigkeit für die 5. Bedingung ist also daher gegeben.
Aber dich interessiert ja der eigentliche Grund dafür: weil die ersten vier Bedingungen in Wirklichkeit nur drei sind. Denn die Schaubilder von ganzrationalen Funktionen 3. Ordnung sind grundsätzlich zu ihrem einzigen Wendepunkt punktsymmetrisch. Wenn du dir jetzt die Lage der beiden äußeren Nullstellen ansiehst, so wirst du nachvollziehen können, dass es gereicht hätte, eine von beiden anzugeben. Die andere folgt aus der Symmetrie und liefert somit keine zusätzliche Information.
Clever gestellte Aufgabe. 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:15 So 19.02.2012 | | Autor: | Matritze |
Hallo Diophant,
so eine Aufgabe ist dann wohl so etwas wie ein Spezialfall. Etwas trickreich.
Das war eine super und sehr verständliche Antwort von Dir! Vielen vielen Dank! So wünscht man sich das. :)
Jetzt macht alles Sinn! :)
Ein großes Dankeschön nochmal!
Gruß,
Matritze
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