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| Aufgabe 1 | | Die Graphen einer ganzrationalen Funktionenschar dritten Grades besitzen die Wendepunkte Wt( (-3/3t) / (11/8t) ) mit t > 0 und haben im Koordinatenursprung den Anstieg m = ( - 4/3). Ermitteln Sie die Gleichung y= ft(x) dieser Funktionenschar. |
| Aufgabe 2 | 2.Gegeben ist fa(x) = a * ln√(x²+1), a [mm] \not= [/mm] 0.
Ermitteln Sie eine Funktion zweiten Grades h(x), die mit f6 an der Stelle x=0 im Funktionswert, im Wert der 1. Ableitung und im Wert der 2. Ableitung übereinstimmen. |
| Aufgabe 3 | 3.Gegeben [mm] ft(x)=t*e^x-e^{2*x}, [/mm] t > 0.
Der Graph der Funktion f4 wird im Intervall 0 =< x <= ln 4 ersetzt durch den Graphen einer quadratischen Funktion q. Ermitteln Sie die Funktionsgleichung von q für den Fall, dass der Graph von q durch die Punkte P( 0 / f4(0) ); Q( ln 2 / f4 (ln 2) und R(ln 4 / f4(ln4) des Graphen von f4 geht. |
| Aufgabe 4 | 4.Gegeben sind Funktionen fa,b,c,d durch
fa,b,c,d(x) = ( (x²+ax+b) / (cx+d) ) wobei (cx+d) ungleich 0
und a,b,c,d R.
Ermitteln Sie die Werte der Parameter a,b,c,d für die Funktion, deren Eigenschaften wie folgt bekannt sind:
eine Nullstelle ist 2,
die Polstelle ist Null,
die Funktion hat an der Stelle 1 den Funktionswert -2,
der Graph der Funktion hat an der Stelle 1 den Anstieg 3. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zu AUFGABE 1:
Um die Funktion zu erhalten, sind folgende Punkte gegeben:
1. f ''t(x)=(-3/3t) ?
2. f ' t(x)= (-4/3) ?
Wenn ich nun die Gleichung aufstelle, wo setze ich dann den Parameter T hin?
Ft(x)= ax³+bx²+cx+d.
Ich weiß einfach nicht, wie ich diese Aufgabe rechnen soll.
ZU AUFGABE 2:
Bei Aufgabe 2 verstehe ich die Aufgabenstellung nicht ganz.
Soll ich jetz
1) h(x) = f6(x) und
h(x) = f ' 6(x) und
h(x) = f ''6(x) ausrechnen
oder
2) f6(0) = h '(x) = h ''(x).
Ich weiß einfach nicht, was ich hier machen soll.
Leider komme ich bei beiden Lösungswegen zu keinem Ergebnis.
Zu AUFGABE 3 und 4 fällt mir gar nichts ein. Kann mir jemand wenigstens einen Lösungsansatzgeben?
Ich habe auch noch den Link vom Aufgabenblatt meiner Lehrerin mitgegeben, falls ihr schon beim ablesen etwas falsch gemacht habe...
Ich glaube, Sie kann mich nicht leiden...
:-(
mfg
Armin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Mo 27.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Armin,
ich sage jetzt nur mal etwas zu Aufgabe 1:
Dein Ansatz ist teilweise richtig - eine ganzrationale Funktion dritten Grades muss irgendwie so aussehen:
[mm] $f_{t}(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$
[/mm]
Dabei können $a,b,c,d$ von $t$ abhängen, nicht aber von $x$!.
Um $a,b,c,d$ bestimmen zu können, brauchen wir vier Informationen (und die haben wir auch, aber dazu komme ich gleich).
Zunächst mal: Was ist die erste Ableitung von [mm] $f_{t}(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ [/mm] ?
Man behandelt $a,b,c,d$ beim Ableiten wie Konstanten, d.h.
[mm] $f'_{t}(x)=3ax^{2}+2bx+c$
[/mm]
(Und wie lautet dann die zweite Ableitung $f''_{t}(x)$ ?)
Nun zu den vier Informationen:
1. Der Ursprung ist ein Punkt des Graphen, d.h. [mm] $f_{t}(0)=0$, [/mm] d.h. [mm] $f_{t}(0)=a\cdot 0^{3}+b\cdot 0^{2}+c\cdot [/mm] 0+d=0$.
2. An der Stelle $x=0$ (Ursprung) soll der Graph die Steigung [mm] $m=-\bruch{4}{3}$ [/mm] haben, d.h. [mm] $f'_{t}(0)=-\bruch{4}{3}$, [/mm] d.h. [mm] $f'_{t}(0)=3a\cdot 0^{2}+2b\cdot 0+c=-\bruch{4}{3}$.
[/mm]
3. Wir kennen einen Wendepunkt, d.h. einen weiteren Punkt des Graphen: [mm] $f_{t}\left(-\bruch{3}{4t}\right)=\bruch{11}{8t}$, [/mm] d.h. [mm] $f_{t}\left(-\bruch{3}{4t}\right)=a\left(-\bruch{3}{4t}\right)^{3}+b\left(-\bruch{3}{4t}\right)^{2}+c\left(-\bruch{3}{4t}\right)+d=\bruch{11}{8t}$.
[/mm]
4. An der Stelle [mm] $x=-\bruch{3}{4t}$ [/mm] liegt ein Wendepunkt vor, d.h. [mm] $f''_{t}\left(-\bruch{3}{4t}\right)=0$
[/mm]
(die entsprechende Gleichung lautet wie?)
Wir erhalten also vier Gleichungen, von denen die zwei ersten aber so einfach sind, dass wir $c$ und $d$ sofort angeben können.
Um auch noch $a$ und $b$ herauszubekommen, musst du die letzten beiden Gleichungen als Gleichungssystem auffassen und dieses lösen.
Zur Kontrolle deiner Rechnungen: Ich erhalte [mm] $a=\bruch{4t^{2}}{9},\ [/mm] b=t$.
Versuch das mal und schreib uns gegebenenfalls, an welcher Stelle du steckenbleibst, ok?
MFG,
Yuma
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Ich habe die erste Aufgabe gelöst, jedoch auf Papier.
Der Lösungsweg ist auf den 4 Blättern...
Kann jemand überprüfen, ob ich alles richtig gemacht habe.
[Dateianhang nicht öffentlich]
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Zu Aufgabe 3
Für q (x)= ( [mm] (-3,5x^2) [/mm] / ln2 ) + 3,5x +3 gefunden.
Die Schritte waren genau wie bei der ersten Aufgabe, da die 3 Punkte gegeben waren, konnte man ganz einfach???  die Aufgabe lösen. Ist es denn auch richtig, was ich hier so einfach ausgerechnet habe.
Zu Aufgabe 2.
Hier habe ich alle mögliche gerechnet und diese verrückte Funktion erhalten:
h(x) = [mm] 3*x^2*LN\wurzel{(x^2 + 1)} [/mm] + [mm] 6*x*LN\wurzel{(x^2 + 1)} [/mm] + [mm] 6*LN\wurzel{(x^2 + 1)}
[/mm]
Die ist wahrscheinlich nicht richtig.
Frag mich jetz bitte nicht, was ich da gerechnet habe.
Alles mögliche auf 100 verschiedenen Wegen...
naja
vielleicht kann ja jemand mal etwas genaueres über die Aufgaben sagen.
mfg
MiniMind
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:55 Di 28.02.2006 | | Autor: | informix |
Hallo Armin,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
so ist deine Lösung nicht zumutbar! Die Bilder sind viel zu groß, als dass man sie vernünftig am Bildschirm lesen könnte.
Wir haben einen wunderbaren Formeleditor, mit dem man das besser lesen und dann auch an den entsprechenden Stellen kommentieren kann.
Bitte nutze ihn!
Gruß informix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:14 Di 28.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Armin,
du scheinst es ja verdammt eilig zu haben... wieso ist die Frage bereits nach einer Stunde überfällig? Bist du überhaupt noch an Antworten interessiert?
Im Übrigen möchte ich mich Informix anschließen... benutze bitte in Zukunft den Formeleditor. Dessen Bedienung ist relativ leicht zu erlernen, man kann es viel besser lesen und außerdem verursachst du mit diesen großen JPGs eine Menge Traffic...
Nun aber zum Thema:
Bei Aufgabe 1 hatte ich dir ja das Ergebnis im Prinzip schon genannt. Soweit ich es am Bildschirm lesen konnte, scheint alles richtig zu sein.
Deine Lösung zu Aufgabe 2 kann gar nicht richtig sein, denn du sollst eine ganzrationale Funktion zweiten Grades finden.
Im Prinzip geht die Aufgabe genauso wie die erste, du setzt [mm] $h(x)=ax^{2}+bx+c$ [/mm] und setzt die Bedingungen ein. Poste doch mal die ersten beiden Ableitungen von [mm] $f_{6}(x)$ [/mm] und die Gleichungen, die du aus den Bedingungen erhalten hast.
Bei Aufgabe 3 hast du wahrscheinlich nur einen kleinen Rechenfehler drin - ich erhalte [mm] $q(x)=-\bruch{5x^{2}}{2\cdot(\ln{2})^{2}}+\bruch{7x}{2\ln{2}}+3$.
[/mm]
Poste auch hier mal die Gleichungen, die du aus den Bedingungen erhalten hast - aber bitte nicht als JPG...
MFG,
Yuma
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1. Sorry, wegen der Überfälligkeit. Da habe ich mich verklickt, und dann war es zu spät, um es noch zu ändern. Der Ablaufpunkt liegt bei heute Abend 2000.
2. Ich war gestern schon so müde, dass ich es nicht mehr richtig hinbekommen habe, die erst AUfgabe reinzustelle. Werde jetz alles mit dem Formaledtior machen.
ZU Aufgabe 2.
Soll jetz [mm]f_6 (0)[/mm] gleich [mm] h(x) = h'(x) = h''(x)[/mm]
oder [mm] f_6(x) = h(0) = h'(0) = h''(0) [/mm] sein.
[mm] h(x) = ax^2+bx+c [/mm]
[mm] h'(x) = 2ax+b [/mm]
[mm] h''(x) = 2a [/mm]
[mm] f_6(x) = 6\ln\wurzel {x^2+1} [/mm]
[mm] f_6'(x) = \bruch {6x}{x^2+1} [/mm]
[mm] f_6''(x) = \bruch {6-6*x^2}{x^2+1} [/mm]
Meine Bedingungen sind:
[mm] f_6(x) = h(0) =h'(0) = h''(0) [/mm] <-- ich weiß ja nicht, ob das richtig ist, war aber der einzige weg, bei dem ich nicht immer in allen Gleichungen "0=0" herrausbekommen habe.
Ich [mm] f_6(x)=h(0) [/mm] gesetzt.
[mm] a0^2 + b0+c = 6\ln\wurzel{x^2+1}[/mm] --> c= [mm]6\ln\wurzel{x^2+1} [/mm]
dann [mm]f_6(x) = h'(0)[/mm] --> b= [mm]6\ln\wurzel{x^2+1} [/mm]
dann [mm] f_6(x) = h''(0)[/mm] --> a = [mm]3\ln\wurzel{x^2+1} [/mm]
Dann habe ich alles eingesetzt in meine [mm] h(x) = ax^2+bx+c [/mm].
War dann wohl falsch der Weg ????
Zu Aufgabe 3.
P(0/3)
Q(ln2/4)
R(ln4/0)
[mm]q(x)=ax^2+bx+c[/mm]
P eingesetzt: [mm]3=a0^2+b0+c[/mm] --> c=3
Q eingesetzt: [mm] 4=a(\ln2)^2+b\ln2+3[/mm] --> [mm]b=\bruch{1}{\ln2} - a\ln2[/mm].
R eingesetzt: [mm] 0=a(\ln4)^2+b\ln4+3) [/mm]und dann a hier einsetzten.
dann erhalte ich [mm][mm] -3=a(\ln4)^2+\bruch{\ln4-a\ln4(\ln2)^2}{\ln2}[/mm] [mm],
woraus ich dann [mm]a=-\bruch{3,5}{\ln2} [/mm]erhalte. Da weiß ich jetz aber gerade nicht mehr, wie ich überhaupt da drauf gekommen bin.
[mm]b=3,5[/mm]
daraus folgt dann.
Könnt ihr mir sagt, was ich wo falsch gerechnet habe???
mfg
Armin
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Nun habe ich als Lösung für [mm]h(x)=3x^2[/mm] herausbekommen...''??
kann das sein...?
wie niemand einen ansatz für aufgabe 4?
mfg
MiniMind
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Di 28.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Armin,
> Nun habe ich als Lösung für [mm]h(x)=3x^2[/mm]
> herausbekommen...''??
> kann das sein...?
Wenn es dir spanisch vorkommt, dann überprüf es doch einfach!
Mit [mm] $h(x)=3x^{2}$ [/mm] folgt $h(0)=0,\ h'(0)=0,\ h''(0)=6$.
Es muss also gelten:
[mm] $f_{6}(0)=6\cdot\ln{\left(\sqrt{0^{2}+1}\right)}=0$ [/mm] (stimmt, oder?)
$f'_{6}(0)=0,\ f''_{6}(0)=6$ (die Gleichungen darfst du selbst überprüfen! )
Ich komme übrigens auch auf [mm] $h(x)=3x^{2}$. [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> wie niemand einen ansatz für aufgabe 4?
Prinzipiell geht das genauso wie die anderen Aufgaben. Das einzige, was man sich klarmachen muss, ist die Sache mit der Polstelle.
Wie muss eine Funktion aussehen, wenn sie bei $x=0$ eine Polstelle hat? Dann muss der Nenner für $x=0$ Null werden, und der Zähler für $x=0$ ungleich Null sein. Setz mal $x=0$ in den Nenner $cx+d$ ein - dieser Ausdruck muss Null sein... was heißt das für $d$?
Den Rest kriegst du bestimmt selber hin - ansonsten frag nochmal nach!
MFG,
Yuma
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Di 28.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Armin!
$f(x) \ = \ [mm] \bruch{x^2+a*x+b}{c*x+d}$
[/mm]
> eine Nullstelle ist 2,
Nullstelle eines Bruches = Nullstelle des Zählers
Der Zähler des obigen Bruches ergibt für $x \ = \ 2$ den Wert $0_$ :
[mm] $2^2+a*2+b [/mm] \ = \ ... \ = \ 0$
> die Polstelle ist Null,
Polstelle = Nullstelle des Nenners
Der Nenner wird $0_$ für $x \ = \ 0$ :
$c*0+d \ = \ ... \ = \ 0$
> die Funktion hat an der Stelle 1 den Funktionswert -2,
$f(1) \ = \ [mm] \bruch{1^2+a*1+b}{c*1+d} [/mm] \ = \ ... \ = \ -2$
> der Graph der Funktion hat an der Stelle 1 den Anstieg 3.
Steigung = 1. Ableitung
$f'(1) \ = \ ... \ [mm] \text{(hier zunächst die Ableitung bestimmen)} [/mm] \ ... \ = \ 3$
Gruß
Loddar
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Da ich die Aufgaben heute früh abgeben muss, habe (musste) ich die Lösungen mit viel Mühe gefunden.
Aufgabe 1.
[mm] f_t(x) =\bruch{4}{9} t^2x^3+tx^2-\bruch{4}{3}x[/mm]
Aufgabe 2.
[mm] h(x) = 3x^2 [/mm]
Aufgabe 3.
[mm]q(x)= -\bruch{2,5}{(\ln2)^2}x^2+\bruch{7}{\ln4}x+3[/mm]
Aufgabe 4.
[mm] f(x)=\bruch{x^2-x-2}{x}[/mm]
Danke für eure Hilfe... Ohne die hätte ich es nicht geschafft...
mfg
MiniMind
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Vielen vielen dank...
mfg
minimind
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
