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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 Fr 24.11.2006 | | Autor: | borto |
| Aufgabe | Für den freien Fall gilt (ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes) die Weg-Zeit-Funktion s mit
s(t):= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * g * t²
mit einer Konstanten
g = 9,8 [mm] \bruch{m}{s²} [/mm] (Näherungswert).
Eine Kugel wird mit der Anfangsgeschwindigkeit
[mm] v_{0} [/mm] = 50 [mm] \bruch{km}{h}
[/mm]
senkrecht nach oben geworfen.
Bestimme die Steighöhe. |
Halo,
also ehrlich gesagt weiss ich nicht genau, wie ich diese Aufgabe angehen soll. In Physik hatte ich mal sowas, aber in Mathe weiss ich nicht genau, wie ich es anzuwenden habe.
Würde mich sehr freuen, wenn ihr bereit wäret, mir zu helfen.
Mit freundlichem Gruß
borto
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:19 Fr 24.11.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo Borto,
> Für den freien Fall gilt (ohne Berücksichtigung des
> Luftwiderstandes) die Weg-Zeit-Funktion s mit
>
> s(t):= [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * g * t²
>
> mit einer Konstanten
>
> g = 9,8 [mm]\bruch{m}{s²}[/mm] (Näherungswert).
>
> Eine Kugel wird mit der Anfangsgeschwindigkeit
>
> [mm]v_{0}[/mm] = 50 [mm]\bruch{km}{h}[/mm]
>
> senkrecht nach oben geworfen.
>
> Bestimme die Steighöhe.
Aus $s(t)= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * g * t²$ folgt, dass s nach unten positiv gezählt wird. Es ist ja die Formel für einen Fall.
Nun wird die Kugel nach oben geworfen. Damit gilt
[mm] $v_0 [/mm] = [mm] -50\bruch{km}{h}$
[/mm]
Nun muß die Formel für s(t) ausgebaut werden (erläutere ich erst einmal nicht):
$s(t)= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * g * t² + [mm] v_0 [/mm] * t$
[mm] $v_0$ [/mm] umrechnen in [mm] $\bruch{m}{s}$ [/mm] und einsetzen.
Extremwert [mm] s_{max} [/mm] bestimmen. Der muß aber negativ werden, also ist es ein [mm] s_{min}.
[/mm]
Es ist netter, s nach oben positiv zu zählen,
$s(t)= [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] * g * t² + [mm] v_0$. [/mm] Eigentlich kommt das Minuszeichen erst herein, wenn man g einsetzt, weil dies nach unten zeigt und daher ein Minuszeichen haben sollte. [mm] v_0 [/mm] ist in diesem Fall natürlich positiv und es kommt ein [mm] s_{max} [/mm] heraus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 So 26.11.2006 | | Autor: | borto |
Hallo,
also ich habe folgendes ausprobiert:
s(t):= - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * 9,8 [mm] \bruch{m}{s²} [/mm] * t² + 180 [mm] \bruch{m}{s}
[/mm]
Nur ich weiss nicht, was ich für t einzusetzen habe.
Ist denn sonst alles richtig?
Die Steighöhe, wird sie hier als s (t) dargestellt?
Mfg
borto
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Hallo borto!
...und einscn schönen Tag!
So, ich denke chrisno hat einen kleinen Fehler gemacht!
Es sollte lauten:
[mm]h(t)=v_o*t-\left \bruch{1}{2} \right*g*t^2[/mm]
....nun kommt man physikalisch gesehen weiter, wenn man sich überlegt, welche Geschwindigkeit [mm]v_1[/mm] die Rakete genau dann hat, wenn sie ihren höchsten Punkt erreicht.
Man kommt zu einem Ergebniss: Zu diesem Zeitpunkt gilt für ihre Geschwindigkeit exakt [mm]v:=v_1=0[/mm].
So, um diese Erkentnisse wirklich verwerten zu können, muss man erstmal die Geschwindigkeit in jedem Zeitpunkt kennen; die erste Ableitung ist gefragt!
Nun abgeleitet...
[mm]f(x):=v_0*t; g(x):- \bruch{1}{2} \right*g*t^2[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]f'(x)=v_0;g'(x)=-g*t[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]h'(t)=v(t)=v_0-g*t[/mm]
...nun haben wir ja überlegt, dass die Geschwindigkeit im höchsten Punkt [mm]0[/mm] sein muss, daher gilt nun:
[mm]0=v_0-g*t_1[/mm]
...woraus sich ergibt:
[mm] \gdw[/mm] [mm]t_1=\left \bruch{v_0}{g} \right[/mm]
... und dann ergibt sich letzendlich die maximale Steighöhe durch Einsetzen in [mm]h(t)[/mm] mit:
[mm]h\left (\bruch{v_0}{g} \right)=v_0*\left (-\bruch{v_0}{g} \right)-\bruch{1}{2} \right*g*\left (\bruch{v_0}{g} \right)^2=\left \bruch{v_0^2}{2g} \right[/mm]
und damit ist die maximale Steighöhe...
[mm]h_1=h_{max}=\left \bruch{v_0^2}{2g} \right[/mm]
So, dann ergibt sich für deinen konkreten Fall:
[mm]h_{max}=\left \bruch{\left (\bruch{50m}{3,6s} \right)^2}{2*9,8071\left \bruch{m}{s^2} \right} \right[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]h_{max}=9,8347745290606415029876943524538974094228280820987465493316696356670796957256087206157393402688478025m\approx10m[/mm]
Ich hoffe, das hilft weiter! Wenn etwas unklar ist, bitte fragen!
Mit den besten Grüßen
Goldener Schnitt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Mo 27.11.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo borto,
> Hallo,
>
> also ich habe folgendes ausprobiert:
>
> [mm] s(t):=-\bruch{1}{2}*9,8*\bruch{m}{s²}*t²+180*\bruch{m}{s}*\red{t}
[/mm]
> Nur ich weiss nicht, was ich für t einzusetzen habe.
> Ist denn sonst alles richtig?
>
nicht ganz, denn der Wert 50 wird bei der Umrechnung durch 3,6 geteilt und nicht multipliziert - außerdem hast du ein t unterschlagen
> Die Steighöhe, wird sie hier als s (t) dargestellt?
ja, das kann man so machen, allerdings wird vereinbarungsgemäß der Weg s eigentlich auf der horizontalen Achse abgetragen. Das führt unter Umständen zu Verwirrungen; nimm daher lieber die Bezeichung h(t)
was du für t einsetzen kannst, hat Gold.Schnitt schon erläutert - du kannst auch alternativ mit dem Energierhaltungssatz argumentieren:
[mm] E_{pot}=E_{kin}
[/mm]
[mm] m*g*h=\bruch{1}{2}*m*v^2
[/mm]
umgestellt nach h
[mm] h=\bruch{v^2}{2g}
[/mm]
Liebe Grüße
Herby
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