Steigung Polarkoordinaten < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 So 11.01.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Steigung der folgenden Polarkoordinatenfunktion und bestimmen Sie (wenn möglich) alle senkrechten und waagerechten Tangenten.
[mm] r(\varphi)=3*\varphi [/mm] |
Also die Steigung kriege ich denke ich ohne Probleme hin:
[mm] x(\varphi)=r(\varphi)*\cos(\varphi)
[/mm]
[mm] y(\varphi)=r(\varphi)*\sin(\varphi)
[/mm]
[mm] x(\varphi)=3*\varphi*\cos(\varphi)
[/mm]
[mm] y(\varphi)=3*\varphi*\sin(\varphi)
[/mm]
[mm] \dot x(\varphi)=3*\cos(\varphi)-3*\varphi*\sin(\varphi)
[/mm]
[mm] \dot y(\varphi)=3*\sin(\varphi)+3*\varphi*\cos(\varphi)
[/mm]
[mm] y'(\varphi)=\bruch{\dot y(\varphi)}{\dot x(\varphi)}=\bruch{\sin(\varphi)+\varphi*\cos(\varphi)}{\cos(\varphi)-\varphi*\sin(\varphi)}
[/mm]
Für die senkrechten/waagerechten Tangenten muss ich rausfinden wann [mm] \dot{x} [/mm] bzw [mm] \dot{y} [/mm] Null ist und dabei habe ich Probleme:
[mm] \dot{x}(\varphi)=0
[/mm]
[mm] \gdw 3*\cos(\varphi)-3*\varphi*\sin(\varphi)=0
[/mm]
hätte jetzt gedacht, dass mir evtl folgender schritt weiterhilft aber ich kriege es nicht hin eindeutig nach [mm] \varphi [/mm] aufzulösen...
[mm] \gdw 3*\sqrt{1-\sin^2(\varphi)}-3*\varphi*\sin(\varphi)=0
[/mm]
[mm] \gdw 3*\sqrt{1-\sin^2(\varphi)}=3*\varphi*\sin(\varphi)
[/mm]
[mm] \gdw \sqrt{1-\sin^2(\varphi)}=\varphi*\sin(\varphi)
[/mm]
Jetzt, müsste ich beim quadrieren auch darauf achten, wann beide Seiten das gleiche Vorzeichen haben aber das tut eigentlich nichts zu Sache weil ich die Gleichung nach dem Quadrieren trotzdem nicht aufgelöst bekomme:
[mm] \Rightarrow 1-\sin^2(\varphi)={\varphi}^2*\sin^2(\varphi)
[/mm]
[mm] \gdw 1=\sin^2(\varphi)*({\varphi}^2+1)
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{{\varphi}^2+1}=\sin^2(\varphi)
[/mm]
[mm] \gdw \pm \bruch{1}{\sqrt{{\varphi}^2+1}}=\sin(\varphi)
[/mm]
und jetzt den [mm] \arcsin [/mm] aber das bringt mir doch nicht wirklich viel oder?
Ein anderer Ansatz war, irgendwie aus [mm] \dot{x} [/mm] ein Produkt rauszukitzeln:
[mm] \dot{x}(\varphi)=0
[/mm]
[mm] \gdw 3*\cos(\varphi)-3*\varphi*\sin(\varphi)=0
[/mm]
[mm] \gdw 3*\cos(\varphi)*\left(1-\varphi*\tan(\varphi)\right)=0
[/mm]
[mm] \gdw 3*\cos(\varphi)=0 \vee 1-\varphi*\tan(\varphi)=0
[/mm]
[mm] 3*\cos(\varphi)=0 [/mm] sind ja einfach die Nullstellen von [mm] \cos(\varphi) [/mm] aber wann ist [mm] 1-\varphi*\tan(\varphi)=0 [/mm] ?
Bei [mm] \dot{y} [/mm] hat man glaube ich ähnliche Probleme...
Ist die Ermittlung der Tangenten gar nicht möglich oder gibt es da sonst irgendeinen Kniff?
Danke und besten Gruß,
tedd 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 So 11.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
x=tanx ist die bessere Methode. Das liesse ich stehen.
Zeichne es auf, dann kannst du etwa Werte ablesen. für große [mm] \phi [/mm] direkt für kleine nur Näherungswerte.
Wenn du die Spirale aufzeichnest sieht man, dass die werte cos=0 und sin =0 waagerechte und senkrechte Tangenten sind!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:31 So 11.01.2009 | | Autor: | tedd |
Okay, danke für den Tip leduart :)
Besten Gruß,
tedd
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 So 11.01.2009 | | Autor: | tedd |
Ich habe doch noch eine Frage...
ich kann
[mm] \dot{x}=3\cdot{}\cos(\varphi)-3\cdot{}\varphi\cdot{}\sin(\varphi)=3*\cos(\varphi)*\left(1-\varphi*\bruch{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}\right)=3*\sin(\varphi)*\left(\bruch{\cos(\varphi)}{\sin(\varphi)}-\varphi\right)=0
[/mm]
und
[mm] \dot{y}=3\cdot{}\sin(\varphi)+3\cdot{}\varphi\cdot{}\cos(\varphi)=3*\sin(\varphi)*\left(1+\varphi*\bruch{\cos(\varphi)}{\sin(\varphi)}\right)=3*\cos(\varphi)*\left(\bruch{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}+\varphi\right)
[/mm]
schreiben...
ist denn dann nicht jeweils [mm] cos(\varphi)=0 [/mm] und [mm] sin(\varphi)=0 [/mm] gar nicht definiert durch den Bruch in den Klammern?
Ausserdem muss für die Tangenten ja gelten, dass entweder [mm] \dot{x}=0 [/mm] ODER [mm] \dot{y}=0 [/mm] gilt, und nicht beides =0.
Also würde mir das ausklammern doch nichts bringen, bzw der geklammerte Ausdruck muss jeweils 0 werden, denn bei [mm] \sin(\varphi)=0 [/mm] bzw [mm] \cos(\varphi) [/mm] wären beide Koordinaten =0.
Ich muss gestehen, dass ich durch das zeichnen des Graphen von [mm] r(\varphi)=3*\varphi [/mm] auch nicht wirklich schlauer geworden bin :(
Danke und Gruß,
tedd
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Hallo tedd,
die Aufgabenstellung basiert auf einer Fehlannahme, in die man unsäglich leicht tappt. Deine Ableitungen sind richtig, und dass Du die Gleichungen nicht explizit lösen kannst, ist kein Zufall. Für große x nähern sich die zu betrachtenden Funktionen schnell handhabbaren Werten, weil man z.B. für [mm] \cos{x}-x\sin{x}=0 [/mm] bei großen x den [mm] \cos{x} [/mm] vernachlässigen darf. Die Lösungen liegen sehr nahe bei denen von [mm] x\sin{x}=0, [/mm] also [mm] x=k\pi. [/mm] Leider ist keine dieser Lösungen genau, weil an den angegebenen Punkten [mm] \cos{x}=\pm1 [/mm] ist. Und knapp daneben ist auch in der Mathematik jedenfalls vorbei.
Die Zeichnung sollte Dir aber geholfen haben. Zumindest für die inneren Windungen der arithmetischen Spirale ist gut sichtbar, dass z.B. die senkrechten Tangenten nicht leicht zu finden sein werden - betrachte einmal die Berührpunkte!
Die ersten sechs Lösungen von [mm] \cos{x}-x\sin{x}=0 [/mm] habe ich einmal numerisch ermittelt. Hier die x-Werte sowie die Abweichung vom "erwarteten" Wert [mm] k\pi, [/mm] umgerechnet in Grad:
1 [mm] x_1= \a{}0,8603335890193\ \quad \Delta=49,3°
[/mm]
2 [mm] x_2= \a{}3,4256184594817\ \quad \Delta=16,3°
[/mm]
3 [mm] x_3= \a{}6,4372981791719\ \quad \Delta=8,83°
[/mm]
4 [mm] x_4= \a{}9,5293344053619\ \quad \Delta=5,99°
[/mm]
5 [mm] x_5=12,645287223857\ \quad \Delta=4,52°
[/mm]
6 [mm] x_6=15,771284874816\ \quad \Delta=3,63°
[/mm]
Das sieht nun irgendwie exponentiell aus, ist aber m.E. in keiner Form darstellbar. Das wird einigermaßen deutlich, wenn man die Potenzreihenentwicklung betrachtet (rechne das mal nach, ich spare mir die Schreibarbeit der ganzen Umformungen!):
[mm] \cos{x}-x\sin{x}=\summe_{i=0}^{\infty}(-1)^i\bruch{x^{2i}}{(2i)!}-x\summe_{i=0}^{\infty}(-1)^i\bruch{x^{2i+1}}{(2i+1)!}=\summe_{i=0}^{\infty}(-1)^i\bruch{(2i+1)x^{2i}}{(2i)!}
[/mm]
Die rechte Seite hat keine Ähnlichkeit mit bekannten Potenzreihen. Selbst eine Fourieranalyse führt nicht wirklich weiter.
Mit anderen Worten: die Aufgabe klingt nett, ist aber faktisch nicht lösbar. Schöne Grüße an den Aufgabensteller.
Liebe Grüße,
reverend
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